自动控制原理课件___第四章

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1、第4章 根轨迹法,4-1 根轨迹的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析,基本要求,1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。,根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与

2、设计带来了极大的方便。,闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。,41 根轨迹法的基本概念,当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为 根轨迹。,1、根轨迹概念,例4-1,如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：,开环传递函数有两个极点 。没有零点，开环增益为K。,闭环特征方程为,闭环特征根为,闭环传递函数为,从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设,如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。,稳定性 当K由0 ，根轨迹不会进

3、入s右半边，即系统总是稳定的。 稳态特性 坐标原点有一个开环极点，所以属I型系统，根轨迹上的 K值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围。,动态特性 当00.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。,2、根轨迹与系统性能,3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,如图所示系统闭环传递函数为,（41）,将前向通道传递函数G（s）表示为：,（42）,为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益,（43）,（45）,问：f与l、q与h有什么关系？,闭环传递函数,分别为闭环零、极点。,式中：,（46）,比较式（42）和式（46）可得出以下结论,闭环系统根轨迹

4、增益等于系统前向通道的根轨迹增益； 闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成； 闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益 有关。,根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。,4、根轨迹方程,根轨迹方程G(s)H(s)=-1 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。,闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-7）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。,设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定nm，这时根轨迹方程又可以写成：,（48）,不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把

5、它分解成模值方程和相角方程。,注意,在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。,模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。,例4-2,它们应满足相角方程（49）,已知系统的开环传递函数:,试证明复平面上点是该系统的闭环极点。,例41开环零、极点分布图,(k=0),以 为试验点，可得,以 为试验点，观察右图，可得,证毕,可见， 都满足相角方程，所以， 点是闭环极点。,例4-3,已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图4-2所示，求根轨迹上点 所对应的K值。,

6、解 根据模值方程求解 值,模值方程,根据图可得,所以,上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值。,根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。,返回,根轨迹起于开环极点，终于开环零点。,法则1、根轨迹的起点与终点,由根轨迹方程有：,42 绘制根轨迹的基本法则,一、根轨迹的分支数分支数开环极点数开环特征方程的阶数,二、根轨迹对称于实轴闭环极点为实数在实轴上复数共轭对称于实轴,法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性,三、根轨迹具有连续性,法则3、根轨迹的渐近线,渐近

7、线与实轴正方向的夹角为：,渐近线与实轴相交点的坐标为：,例4-4,已知系统的开环传递函数,试根据法则3，求出根轨迹的渐近线。,极点,按照公式得,以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线,对应的开环传递函数,(a),(b),(c),(d),法则4、根轨迹在实轴上的分布,实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。,证明：,设一系统开环零、极点分布如图。,在实轴上任取一试验点 代入相角方程则,所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。,一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式,证毕,如满足相角条件必有,所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。,例4-5,设一单位负反馈系统的开

8、环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。,解：将开环传递函数写成零、极点形式,最后绘制出根轨迹图。,法则1， 两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。 法则2，有两条根轨迹 法则4，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹。,按绘制根规迹法则逐步进行：,例44根轨迹,法则5、根轨迹的分离点与分离角,定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。,分离点的坐标d可

9、由下面方程求得,法则5、分离角与会合角,所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。 分离角计算公式,（445）,所谓会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。,会合角计算公式,分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：,若有 条根轨迹进入d点，必有 条根轨迹离开d点；,条进入d点的根轨迹与 条离开d点的根轨迹相间隔；,任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为 ；,因此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点附近根轨迹方向的方法可根据法则2 、法则4 或取试验点用相角条件来

10、验证。,法则6、根轨迹的起始角和终止角,根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。,根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。,终止角计算公式：,起始角计算公式：,例4-6,设系统开环传递函数,试绘制系统概略根轨迹。,解 将开环零、极点画在图44的根平面上，逐步画图：,n=2，有两条根轨迹,两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2), (-1+j2) ； 终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j),确定起始角,终止角。 如图44所示。,例45根轨迹,例47根轨迹的起始角和终止角,例4-8,已知系统的开环传递函数,试求闭环系统的根轨迹分离点坐标

11、d，并概略绘制出根轨迹图。,解：根据系统开环传递函数求出开环极点,按步骤： n=2,m=1,有两条根轨迹 两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点 实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点之间，因此判断有分离点,离开复平面极点的初始角为,此系统根轨迹如图所示,法则7、根轨迹与虚轴的交点,如根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚部为零求得。,例4-9,设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。,解：按步骤画图,有4条根轨迹 各条根轨迹分别起于开环极点0，-3，-1+j1, -1-j1 ；终于无穷远 实轴上的根轨迹在0到

12、-3之间 渐近线,确定分离点d,确定起始角,确定根轨迹与虚轴的交点。,闭环系统的特征方程为,例47根轨迹,例4-10,已知单位负反馈系统开环传递函数为,试画出 时的闭环系统的概略根轨迹，并求出 时的闭环传递函数及闭环极点。,解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：,n=4，有四条根轨迹； 起始于开环极点0，-20，-2-j4, -2+j4，终于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（0，-20）区间； n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为,取,根轨迹的起始角。,分离点坐标d。,舍,根轨迹与虚轴交点。,解得,此时特征方程为,利用综合除法，可求出其他两个闭环极点,例48根轨迹

13、图,法则8、根之和与根之积,如果系统特征方程写成如下形式,闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。,Tips,在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m2的系统，当增益的变动使某些闭环极点在s平面上向左 移动时，则必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。,闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特征方程的常数项。,常见闭环系统根轨迹图,返回,43 广义根轨迹,一、开环零点变化时的根轨迹,设系统开环传递函数为,令,（429）,显然，利用式429就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是 广义根轨迹。,二、开环

14、极点变化时的根轨迹,设一负反馈系统的开环传递函数为,现在研究 变化的根轨迹。,等效开环传递函数为,根据式（429）可画出 变化时的广义根轨迹。,已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为 时，时间常数 变化时的根轨迹。,例4-11,解： 题目显然是求广义根轨迹问题。,系统特征方程为,等效开环传递函数为,等效开环传递函数有3个零点，即0，0， -1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。,按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹图。,例4-9根轨迹图,分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。,三、零

15、度根轨迹,特征方程,研究内回路,从而相角方程及模值方程相应为,使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改,实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。 根轨迹的渐近线,根轨迹的起始角与终止角,分离角与会合角,例4-12,正反馈系统的结构图如图4-23所示，,试绘制开环系统根轨迹增益 变化时的根轨迹。,其中,解：,该系统是正反馈系统。,当 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。,终止于开环零点,实轴根轨迹在 区间内。,起始于开环极点,例4-10根轨迹图,返回,44 系统性能的分析,主要任务：,一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式,阶系统的闭环传递函数可写为：,设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：,