《2018版高中数学人教b版必修五第三单元§3.2均值不等式（一）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教b版必修五第三单元§3.2均值不等式（一）（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 均值不等式（一）,第三章 不等式,1.理解均值不等式的内容及证明. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 算术平均值与几何平均值,如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？,答案,梳理,一般地，对于正数a，b， 为a，b的 平均值， 为a，b的 平均值两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即 . 其几何意义如上图中的|PO|PQ|.,算术,几何,知识点二 均值不
2、等式及其常见推论,思考,当且仅当ab时，等号成立,答案,梳理,题型探究,类型一 常见推论的证明,例1 证明不等式a2b22ab(a，bR),a2b22ab(ab)20， a2b22ab.,证明,引申探究,由例1，得a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab，,证明,反思与感悟,(1)本例证明的不等式成立的条件是a，bR，与均值不等式不同 (2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法,跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.,证明,a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca， 2(a2b2c2)2(abbcca)， 即a2b2c2abbcca， 当
3、且仅当abc时，等号成立,类型二 用均值不等式证明不等式,例2 已知x、y都是正数,证明,(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.,证明,反思与感悟,在(1)的证明中把 分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号,跟踪训练2 已知a、b、c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.,a，b，c都是正实数，即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当abc时，等号成立,证明,例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为
4、x，a，b，x均大于零，则,类型三 用均值不等式比大小,答案,解析,第二年的产量为AAaA(1a)， 第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2. 依题意有A(1x)2A(1a)(1b)， a0，b0，x0，,均值不等式 一端为和，一端为积，使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.,反思与感悟,A.RPQ B.PQR C.QPR D.PRQ,答案,解析,ab1， lg alg b0，,即QP. ,综合，有PQR.,当堂训练,1,2,3,4,答案,解析,当且仅当ab1时，等号成立.,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,1,2,3,4,3.设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是,答案,解析,1,2,3,4,答案,解析,其中恒成立的是_.(填序号),1,2,3,4,当a3时，a296a，故不恒成立. 综上，恒成立的是.,规律与方法,2. 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.,本课结束,
