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1、两端固定张紧弦振动研究,组 员： 舒 达，谯 春，程 熹* 指导老师： 段家忯，汪 滨,驱动力频率 ,本征频率 （n个波节） 长春五光实验仪器，出现了 的现象（？） 新的实验仪器（PASCO）出现了 的现象（？）,问题的引出(1/n):1?,我们的主要工作,研究以前实验中出现的一些问题，给出一些解释和解决的办法 研究非线性效应较小弦的本征振动，以及弦振动和驱动力的关系 研究振幅较大时，由于非线性效应产生的频率飘移,基本的理论出发点,经典的数学物理方程（线性）,分离变量,基本解，对应本征振动模式,本征频率,实验装置介绍,F,Detector 通过感生电动势反映弦的振动 电压U速度V,Driver
2、 产生交变磁场，作为驱动力源,示波器,信号发生器,电阻,最准确的测量量：周期T，频率f,Driver,Detector,硬磁铁,我们的分析,驱动力的严格考虑 长春五光的仪器（驱动器是硬磁铁） 主要的问题出在,PASCO,新的仪器（驱动器是软磁铁）,解决的办法,在新仪器上加一块硬磁铁，让M近似为定值。 驱动力 实验效果确实主要只有1:1的情况了,研究驱动力与弦振动的关系,前期准备： 一些参量的测量： 杨氏模量E、弦半径r、弦长度L 检验驱动器Driver流入电流|I|与|B|大小的正比关系 结果：很好的满足,接入电阻R，使得CH1的测量对象由Driver两端的电压U变为流过Driver的电流I。
3、I能比U更好地表现B的情况 将Driver与Detector紧靠桥码放置，减小测量中的非线性因素,振幅A较小情况下驱动力与弦振动的关系,弦的振动方程为：,可见驱动力f(x, t)的具体形式对于求得弦的振动模式u(x,t)即方程的解很重要： 1.如果u的振幅正比于f 0，则可以分析得出方程是线性的，可以进行解的叠加，傅立叶分析才有意义； 2. f(x,t)是否和预期一样为正弦形式f0sint； 3.f与u的相位关系。,示波器 通道一(channel 1) 显示驱动器(Driver)中流过的电流值 I1 通道二(channel 2) 显示接收器(Detector)中产生的感生电动势 U2,可观测量
4、：,CH1: I1BF=Bm CH2: U2v速A，其中A为弦的振幅 由CH1、CH2的信号IU，可得fA即fA 所以方程式是线性的,与待考察物理量的关系：,1）F与u的振幅的关系,数据图如下：,观察得到 1: 2= 1 : n（n1）的激发，振幅十分小。 可以分析得出弦的本征振动模式为比较好的正弦形式,2）F的正弦形式的检验 即它与u的频率的关系,3）F与u的相位的关系,本节小节,F与u成线性关系，有利于方程分析和进一步的模拟 F为较好的正弦形式 这些工作对于以后进一步研究有基础性意义,弦振动的频率漂移,弦音计实验后期工作报告,基本思路,1、发现问题 2、理论分析 3、实验检验,1、分析实验
5、结果 （1）实验结果与理论公式 有偏差 （2）空间频率（波腹数m）增加，偏差也增加 （3）振幅增加，偏差也增加,一、初步实验、现象、猜想,2、考察引起频率漂移的因素 （1）空间频率（波腹数n） （2）振幅 U （3）其他因素（如水平振动、隔板摩擦等，理论推导中略去）,二、理论分析,分析思路 1、基本假设张力的变化是频率漂移的主要因素 2、推导 （1）基本方程 （2）张力分析 （3）驻波解 和 受力形式 的确定 （4）方程化简 （5）得到推导结果,1、假设 弦振动基本方程： 振动时的弦长 L 变化，T随之发生变化：,图示,微观伸长 由勾股定理： 由小量假设，取根式的泰勒展开的前两项：,宏观伸长
6、当振动为 形式时，振动弦长为： 其中：,张力变化 在t时刻 ： 其中： 我们将得到一个随时间变化的张力 T,对弦中张力处处相等的说明 （1）张力的传播，是以伸长压缩的纵波形式 量级 （2）驻波的传播，是横振动的横波形式 量级 （3）取决于横波形式的张力，极快速的达到平衡，及处处相等的情形,2、实验关系推导,(1)基本波动方程： 源于牛顿方程，对于弦上任一点都成立 为张力， 为x处的外力总和， 为线密度 根据T与坐标无关，方程化简为：,（2）振动形式和张力的具体表达式 由微扰法，可令： 为波腹处的幅值，波矢 ， 为与策动力的相位差 将其带入张力表达式，经化简得到：,（3）受力形式 外力作用： 策
7、动力： （点作用周期函数） 阻力： （ 为常数，满足与速度成正比，类比空气阻力 ）,（4）方程化为： 可见，方程中有 空间 和 时间 两种周期项 下面先后对它们作分析,（5）空间周期部分 做傅立叶分析两边乘以 ，再从 积分得： 得到只有时间部分的方程,（6）时间周期部分 我们让 ，对应于实验中就是让策动力F与速度 同相位，这总是能调控的，有： 由 与 的正交性，作傅氏分析得到频率方程：,（7）频率公式（结果） 其中： 作变换： 或者： 则有：,三、实验检验,1、推导出的关键公式：,：波腹处振幅 m ：波腹数 E ：杨氏模量 S ：弦的切面积 ：恒定张力 ：弦长 A ：推导常数,2、杨氏模量E对
8、公式的旁证 取定一根弦（E，S ），振动长度 ，恒定拉力 代入数据，计算得到的公式系数 与 实验测得的值，量级是一致的。相差只在同一量级内,3、检验正比关系 取定一根弦（E，S ），振动长度 ，恒定拉力 ，我们取定公式形式： 其中：,取 =16.5N， =0.5m，考察 线性关系 （1）m=3 =345.12Hz =0.2771,m=4 =461.16Hz =0.4732,与 正比关系的验证 m=3 和 m=4,（2）m=3 =360.29 Hz =0.3728,m=4 =483.97 Hz =0.6680,m=5 =608.05 Hz =1.0938,与 正比关系的验证 m=3 m=4 m=5,四、回顾,本阶段： 1、受到试探实验的启示：频率漂移与频率值、振幅相关 2、在微扰法和方程线性保证下，作出假设：频率变化 主要来源 于张力随振动模式的变化；且弦中张力 T 处处相等。并做了量级估算。 3、依据假设，从数学上导出 频率与理想值的漂移 与共振频率、振幅的关系 4、通过实验，比较好的验证了理论推导。从而肯定了我们做的张力假设，从某种意义上说确是频率漂移问题的主要矛盾和物理根源。,
