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1、2018年9月17日星期一,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2018年9月17日星期一,2,主 要 内 容,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 多元微分学在几何上的应用,第七节 方向导数与梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,2018年9月17日星期一,3,第一节 多元函数的基本概念,第七章,(Conception of functions of several variables),四、多元函数的连续性,一、平面点集 n 维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数
2、的极限,五、小结与思考练习,2018年9月17日星期一,4,一、平面点集 n 维空间,1. 邻域,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,2018年9月17日星期一,5,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,.,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2018年9月17日星期一,6,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也
3、含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,2. 区域,2018年9月17日星期一,7,若对任意给定的 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .,E 的边界点 ),(2) 聚点,2018年9月17日星期一,8, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E , 则称 E 为闭集；
4、, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,. ., E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,(3) 开区域及闭区域,2018年9月17日星期一,9,开区域,闭区域,例如，在平面上,2018年9月17日星期一,10, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域；,但非区域 ., 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,2018年9月17日星期一,11,n 元有序数
5、组,的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标 .,记作,即,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O .,3. n 维空间,2018年9月17日星期一,12,的距离记作,中点 a 的 邻域为,规定为,与零元 O 的距离为,2018年9月17日星期一,13,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,2018年9月17日星期一,14,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D
6、上的 n 元函数 , 记作,定义1 设非空点集,2018年9月17日星期一,15,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,例如, 二元函数,2018年9月17日星期一,16,三、多元函数的极限,定义2 设 n 元函数,点 ,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n =2 时, 记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A ,对一,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,切,2018年9月17日星期一,17,求证：,证
7、:,故,总有,要证,（课本 例5）,例1 设,2018年9月17日星期一,18,求证：,证：,故,总有,要证,（自学课本 例6）,例2（补充题）设,2018年9月17日星期一,19, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,函数,例3 讨论函数,2018年9月17日星期一,20,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,
8、但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 ., 二重极限,2018年9月17日星期一,21,四、 多元函数的连续性,定义3 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称 n 元函数,连续.,连续,2018年9月17日星期一,22,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,例如, 函数,2018年9月17日星期一,23,解: 原式,例6 求函数,的连续域.,解:,（补充题）,例5（课本 例9）求,20
9、18年9月17日星期一,24,* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,2018年9月17日星期一,25,内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,2018年9月17日星期一,26,有,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理
10、 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,3. 多元函数的极限,2018年9月17日星期一,27,习题71 1 (2), (3)；3 ；5（偶数题）；6 （偶数题）；7（1）；8；9,课外练习,思考与练习,1. 习题71 7（2）,令 x = k y ，,若令, 则,可见极限 不存在,2018年9月17日星期一,28,2. 设,求,解法1 令,2018年9月17日星期一,29,求,解法2 令,即,2 .设,2018年9月17日星期一,30,是否存在？,解：,所以极限不存在.,3.,2018年9月17日星期一,31,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,
11、故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,4. 证明,2018年9月17日星期一,32,第二节 偏导数,第七章,(Partial Derivative),一、偏导数的定义及其计算方法,二、高阶偏导数,三、小结与思考练习,2018年9月17日星期一,33,一、偏导数定义及其计算方法,在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的概念，,对于多元函数也常常需要研究它的变化率.,由于多元函数的自变量不止一个，,变化率也就会出现,也就会出现各种不同的情况；,就二元函数z = f (x, y)而言，,当点(x, y)沿各种不同的方向变动趋向于(x0, y0)时一般有不同的变化率.,我们先讨论当沿着平行于x 轴
12、或y轴方向变动,（即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时函数的变化率.,此时，它们就是一元函数的变化率.,至于其他各个方向的变化率，我们将在第七节中讨论.,2018年9月17日星期一,34,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,定义1,2018年9月17日星期一,35,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,同样可定义对 y 的偏导数,2018年9月17日星期一,36,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点
13、 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数定义为,(请自己写出),偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,2018年9月17日星期一,37,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,二元函数偏导数的几何意义:,2018年9月17日星期一,38,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,但在该点不一定连续.,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,注意：,2018年9月17日星期一,39,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,（自学课本 例1）,例1 求,2018年9月17日星期一,40,解:,所以
14、,2018年9月17日星期一,41,例3 求,的偏导数.,解:,例4 设,求证,证:,2018年9月17日星期一,42,偏导数记号是一个,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,（补充题）,例5 已知理想气体的状态方程,2018年9月17日星期一,43,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,2018年9月17日星期一,44,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏
15、导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,类似可以定义更高阶的偏导数.,2018年9月17日星期一,45,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,（补充题）,例6 求函数,2018年9月17日星期一,46,二者不等,例如,2018年9月17日星期一,47,则,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,(证明略),定理,2018年9月17日星期一,48,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,例6 证明函数,2018年9月17日星期一,49,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),2018年9月17日星期一,50,课外练习,习题7.2 1； 2（偶数题）；3；5；7；8（4）,
