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1、2010年高考二轮总复习 专题创新设计 高考深度预测,数 学选修,【解析】 (1)由题意设双曲线方程为 1(a0，b0)，把(1， )代入得 1，又y22 x的焦点是( ，0)，则c2a2b2 ，联立，消去b2可得4a421a250，(4a21)(a25)0，a2 ，a25(不合题意，舍去)于是b21，双曲线方程为4x2y21(2)由消去y得(4k2)x22kx20(*)当0即2 k2 (k2)时，l与C有两个交点A、B.,()设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ，故 0，即x1x2y1y20由(*)知x1x2 ,x1x2 ,y1y2k2x1x2k(x1x2)1,代入可得 k2 k 10，
2、化简得k22，k ，检验知符合条件，故当k 时， ()若存在实数k满足条件，则由得m(x1x2)k(x1x2)2，把x1x2 代得得mk4，这与中mk1矛盾，故不存在满足条件的实数k,考点四 定点、定值问题命题规律 圆锥曲线中的定点(值)是高考中经常考查的题型，是解析几何中较难的一部分内容解决这类问题时，要运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变”，用特殊探索法(即用特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定点或定值，再进行证明例4 已知中心在原点的椭圆C过点M(1， ),F(- ,0)是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列(1)求椭圆C的标准
3、方程；(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A【分析】 (1)由特定系数法求出方程;(2)由|PF|、|MF|、|QF|成等差数列得出P、M、Q的横坐标成等差数列，取特殊位置(PQ与x轴垂直)发现A点坐标为( ， 0)，再进行证明,【解析】 (1)设椭圆C的标准方程为 1由已知得椭圆C的标准方程为 1(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由(1)知椭圆的标准方程为12x12，2x22，|PF|aex12 x1同理|QF|2 x2，|MF|2 2|MF|PF|QF|，2(2 )4 (x1x2)，x1x22,从而有 设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ ，得线段PQ的中垂线方程为y
4、n2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A( ，0)当x1x2时，则P(1， )，Q(1， )或Q(1， ),P(1， )此时，线段PQ的中垂线是x轴，也过点A( ，0)线段PQ的中垂线过点A( ，0),【点评】在解析几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定点(值)问题解决这类问题常通过取特殊值(位置)来确定“定点”、“定值”，再证明解决这类问题方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(定值),互动变式4 双曲线 1(a0，b0)的离心率为 ,A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点
5、F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点(1)若 5 ，求直线l的斜率；(2)证明：M、N两点的纵坐标之积为定值【解析】 (1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为双曲线的离心率为 ，所以c a，b a，双曲线方程为2x2y22a2因为 5 ，所以x2 c因为直线l：yk(xc)，所以y2 又因为点Q是双曲线上一点，所以2( )2( )22a2，整理得 e2 e2k22，解得k ,(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由已知AP：y (xa)，AQ：y (xa)，所以yM ( a)，yN ( a)，所以yMyN ( a)2 ( a)2,
6、由得(2k2)x22k2cxk2c22a20，所以x1x2 ，x1x2 ，y1y2k2(x1c)(x2c)k2x1x2c(x1x2)c2k2 ，x1x2a(x1x2)a2k2 ，所以yMyN a2(定值),第5讲 轨 迹 问 题重点知识回顾1求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围2求轨迹方程的常用方法：定义法，直接法，代入法(相关点法)，参数法，交轨法3求轨迹方程的注意事项：求轨迹方程的关键是在复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，又要检验是否漏解，出现增解则要舍去
7、，出现漏解，则需补充检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形,主要考点剖析 考点一 直 接 法命题规律 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(或向量的坐标运算公式)进行整理、化简即把这种关系“翻译”成含x, y的等式就得到曲线的轨迹方程了例1 已知两定点A ， B ，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )(A) (B)4 (C)8 (D)9【解析】两定点A ， B ，如果动点P满足|PA|2|PB|，设P点的坐标为(x, y)，则(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4,答案 B【点评】本题由给出的已
8、知条件，直接得出表达式即可解决问题互动变式1 设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A, B两点，点Q与点P关于y轴对称， O为坐标原点,若 2 且 1,则点P的轨迹方程是( )(A)3x2 y21(x0, y0)(B)3x2 y21(x0, y0)(C) x23y21(x0, y0)(D) x23y21(x0, y0),【解析】设P(x, y)，则Q(x, y)，又设A(a, 0), B(0, b)，则a0, b0，于是 (x, yb)， (ax，y)，由 2 可得a x, b3y，所以x0, y0，又 (a, b)( x, 3y)，由 1可得 x23y21(x0,
9、y0)答案 D,考点二 定 义 法命题规律 定义法求轨迹方程，运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程例2 如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆中，P是半圆弧上一点，POB30曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程【分析】根据题意，用双曲线定义求出曲线C的方程,【解析】 (1)以O为原点， AB、AB中垂线所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(2, 0), B(2, 0), P( ， 1)，依题意得 2 4，曲线C是以原点
10、O为中心， A、B为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2, 2a2 ，a22, b2c2a22，曲线C的方程为 1,【点评】本题由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意互动变式2 已知椭圆的一个焦点和一条准线与抛物线y28(x2)的焦点和准线分别重合，求椭圆短轴端点的轨迹方程,【解析】由抛物线y28(x2)知：其顶点为(2,0)，焦点为(0,0)，准线为x4(如图所示)，设椭圆短轴端点为B(x，y),由椭圆第二定义知： ,即 ,化简得x2y2|x|(x4)当x0时，轨迹方程为y
11、24x(x0)；当x0时，轨迹方程为(x1)2 1(x0),考点三 参数法、代入法(相关点法)命题规律 有时求动点应满足的几何条件不易得出，无明显的相关点，但较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x, y)中的x、y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，消去参数，就得到普通方程有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可
12、求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查,例3 设椭圆方程为x2 1，过点M(0, 1)的直线l交椭圆于点A、B, O是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程【分析】分别利用参数法与代入法求解【解析】法一(参数法)：直线l过点M(0, 1)，设其斜率为k，则l的方程为ykx1记A(x1, y1)、B(x2, y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的解,将代入并化简得：(4k2)x22kx30，所以设点P的坐标为(x, y),由 知P为AB的中点,故 消去参数k得4x2y2y0 当k不存在时， A、B中点为坐标原点(0, 0)，也满足方程，所以点P的轨迹方程为4x2y2y0,法二(代点法)：设点P的坐标为(x, y)，因A(x1, y1)、B(x2, y2)在椭圆上，所以x12 1， x22 1 得x12x22 (y12y22)0，所以(x1x2)(x1x2) (y1y2)(y1y2)0当x1x2时，有x1x2 (y1y2) 0 并且 将代入并整理得4x2y2y0 当x1x2时,点A、B的坐标为(0, 2)、(0,2)，这时点P的坐标为(0, 0),也满足,所以点P的轨迹方程为4x2y2y0.,
