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1、第五章： 计算机控制系统设计 授课人：李会军,2,内容回顾,前向差分法 原理：使用一阶前向差分近似代替微分计算，推导出置换公式；连续微分环节的传递函数和微分方程如下一阶前向差分代替微分：Z变换，可得：,3,内容回顾,前向差分法 置换公式有关说明1、一种粗略的Z变换；2、使用矩形面积代替曲线以下的面积：,4,内容回顾,后向差分法 原理：使用一阶后向差分近似代替微分，推导置换公式；连续微分环节的传递函数和微分方程如下一阶后向差分代替微分：Z变换，得：,5,内容回顾,后向差分法 置换公式有关说明1、一种粗略的Z变换；2、使用矩形面积代替曲线以下的面积：,6,内容回顾,突斯汀变换法 离散化公式对差分方
2、程进行Z变换，得到置换公式突斯汀变换(双线性变换)：,7,内容回顾,突斯汀变换法 映射关系1、当 (S平面虚轴)， (映射在Z平面单位圆上)2、当 (S左半平面)， (映射在Z平面单位圆内)3、当 (S右半平面)， (映射在Z平面单位圆外)对于突斯汀变换，只要模拟控制器D(s)是稳定的，离散化后得到的数字控制器D(z)也是稳定的,8,Z平面根轨迹设计法,Z平面根轨迹假设连续控制系统和离散控制系统的结构图如下闭环脉冲传递函数：闭环特征方程：根轨迹方程：Z平面根轨迹定义：当系统的开环增益从零变化到正无穷时，系统闭环特征根的集合；,9,Z平面根轨迹设计法,Z平面根轨迹根轨迹的幅值条件和相角条件Z平面
3、根轨迹的特点：1、由于S左半平面映射到了Z平面单位圆内，所以Z平面极点的密集度很高，造成两个相近的极点，对应的系统性能差别很大。因此，在使用根轨迹分析系统性能时，要求的计算精度较高；2、在S平面，临界开环增益由根轨迹和虚轴的交点确定；在Z平面，临界开环增益由根轨迹和单位圆的交点缺点；3、除了闭环极点之外，还需要考虑闭环零点对系统性能的影响；,10,Z平面根轨迹设计法,系统动态性能指标与极点位置的关系连续二阶欠阻尼系统的传递函数如下：特征根：单位阶跃响应：二阶系统的动态性能指标：最大超调量： 上升时间：峰值时间： 调节时间：,11,Z平面根轨迹设计法,系统动态性能指标与极点位置的关系对于连续系统
4、，可根据性能指标的要求，确定S平面主导极点的位置，进而根据 的映射关系，确定Z平面极点的位置；1、等 线：阻尼比相同的闭环特征根的集合；在S平面上，是一条从原点出发的射线，与负实轴的夹角为 ；在Z平面上，是一条对数螺旋线；,12,Z平面根轨迹设计法,系统动态性能指标与极点位置的关系2、等 线：根据调节时间 的要求，可求出S平面特征根实部的取值，映射到Z平面上，是一个半径为 的同心圆；3、等 线：根据上升时间 或峰值时间 的要求，可求出S平面特征根虚部的取值，映射到Z平面上，是一条通过原点，与实轴夹角为 的射线；在Z平面上，如果闭环主导极点位于等 线、等 线和等 线所包围的区域，则可满足给定的动
5、态性能指标的要求；,13,Z平面根轨迹设计法,系统动态性能指标与极点位置的关系例1：假设计算机控制系统的采样周期T=0.5s，要求系统的动态性能指标如下： 试确定Z平面主导极点的位置；解：根据二阶系统性能指标的计算公式等 同心圆半径：等 射线与实轴夹角：,14,Z平面根轨迹设计法,设计方法及步骤 原理：通过试凑，将闭环系统的主导极点配置在期望位置上； 设计步骤1、根据给定的时域性能指标，在Z平面上画出期望极点的允许范围；2、设计数字控制器D(z)(1) 首先求出广义对象脉冲传递函数(2) 用试探法确定控制器D(z)的结构形式为保证加入数字控制器后，不影响系统的稳态性能，要求,15,Z平面根轨迹
6、设计法,设计方法及步骤 设计步骤根据系统性能指标的要求，确定控制器D(z)零极点的位置，使得加入 加入控制器后系统的根轨迹能够进入期望的闭环极点允许范围；3、在闭环极点允许范围内，选择满足静态性能指标要求的根轨迹段作为闭环工作点的选择区间；4、进行仿真实验，检验系统的动态响应是否符合要求；5、在计算机上对控制器D(z)进行编程实现；,16,Z平面根轨迹设计法,设计方法及步骤例2：某数字随动系统的传递函数为 ，采样周期T=0.2s，设计一个数字控制器D(z)，使系统满足以下要求：(1) 最大超调量 ；(2) 上升时间(3) 调节时间 ；(4) 静态速度误差系数解：设计步骤如下第1步，根据动态性能
7、指标的要求，确定期望闭环极点允许的范围,17,Z平面根轨迹设计法,设计方法及步骤作出期望极点允许的范围(1) 画出 的螺旋线(红线)；(2) 画出等 线(绿色)(3) 画出等 线(蓝色),18,Z平面根轨迹设计法,设计方法及步骤第2步，设计数字控制器D(z)(1) 写出广义被控对象的脉冲传递函数(2) 进行第一次试探，令 ，此时系统的开环传递函数为根轨迹增益,19,Z平面根轨迹设计法,设计方法及步骤(3) 进行第二次试探，令零极点对消后的开环传递函数为：注意：在配置控制器进行零极点对消时，不能试图消去系统在单位圆外、单位圆上以及接近单位圆的零极点，否则会因为不精确对消，造成系统不稳定；,20,
8、Z平面根轨迹设计法,设计方法及步骤在允许域内，根据静态性能指标 的要求，确定根轨迹增益的最小值在允许域内 的根轨迹区间内，取一对主导极点 ，可算出该点的根轨迹增益为 ；要求数字控制器不影响系统的稳态性能，则有：可得系统的开环增益：第3步，进行数字仿真，得到校正后系统的动态性能指标如下满足系统要求，可在计算机上编程实现；,21,W变换及频域设计,W变换的定义变换：反变换：T为采样周期，又称双线性变换；,22,W变换及频域设计,W变换的性质 映射关系1、根据 的等式关系，S平面的左半平面的主带和旁带一一重叠地映射在Z平面单位圆内(参见S平面和Z平面的关系)；2、根据 的等式关系，Z平面单位圆内的点
9、一对一地映射在W平面的左半平面上(参见突斯汀变换的推导过程)；结论1、S平面的稳定性判别方法适用于W平面分析；2、S平面的分析和设计方法(频率法、根轨迹法)也可应用于W平面；,23,W变换及频域设计,W变换的性质 S域和W域的频率对应关系假设S域和Z域的频率均为 ，W域的频率为 ，则S域频率与W域频率的关系如下：可参照突斯汀变换的推导过程结论：在低频段，w和v基本上是线性关系，可将W域的频率作为真实频率；在高频段，必须使用关系式进行非线性换算；,24,W变换及频域设计,W域设计方法设计步骤如下：1、根据给定的连续被控对象，求出Z域的广义对象脉冲传递函数2、将G(z)变换到W平面上：3、在W平面
10、上使用频域设计方法(超前校正、滞后校正、滞后超前校正)设计控制器；4、进行W反变换，得到Z域控制器：5、检验闭环系统是否符合要求，并编程实现D(z)；,25,W变换及频域设计,W域设计方法 控制器的一般形式1、如果 ， 为滞后-超前控制器；2、如果 ， 为一阶相位超前控制器；3、如果 ， 为一阶相位滞后控制器；,26,W变换及频域设计,W域设计方法例3：已知连续对象的传递函数如下，要求设计一个数字控制器，使系统满足以下性能指标要求：(1) 在最大指令速度为 时，速度稳态误差不超过 ；(2) 相角裕度 ；(3) 截止频率 ；(4) 采样周期 ；解：使用频率法设计该系统第1步：计算广义脉冲传递函数,27,W变换及频域设计,W域设计方法第2步，将G(z)变换到W平面上：第3步，根据系统性能指标的要求，选用滞后-超前校正，校正网络如下：第4步，将D(z)转换到Z平面：第5步，计算机编码实现,28,课后作业,课后题5-2，增加突斯汀变换法写出突斯汀变换法的频率修正步骤写出连续域-离散化设计方法的设计步骤,
