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1、,1.应用面面垂直的性质定理时要注意的问题 (1)四个条件缺一不可“，=l， a ，al”. (2)一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直.,面面垂直的性质定理的应用,2.面面垂直的两个重要结论 (1)若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内. (2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面.应用面面垂直的性质定理时，恰当利用平面几何知识，在其中一个平面内寻找交线的垂线是关键.,【例1】(2011福建八市联考)如图， 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AFBE，A
2、FEF，求证：EA平面ABCD. 【审题指导】解答本题的关键是证明EAAB，为此应该在 平面四边形ABEF中，利用AFBE，AFEF， 等条件计算AB、AE、BE的长度，利用勾股定理逆定理证明.,【规范解答】设AF=EF=a，则BE=2a.过A作AMBE于M，AFBE,AMAF. 又AFEF AMEF，,四边形AMEF是正方形. AM=a，EM=MB=a, AE2+AB2=EB2，AEAB. 又平面ABCD平面ABEF， 平面ABCD平面ABEF=AB, AE 平面ABEF,EA平面ABCD.,【变式训练】如图，四棱锥P-ABCD的 侧面PAD是正三角形，且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E
3、是PD的中点. 求证：平面ACE平面PCD. 【解题提示】要证平面ACE平面PCD，只需在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，根据平面PAD平面ABCD,可利用面面垂直的性质定理.,【证明】PAD为正三角形，E为PD的中点， AEPD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD, DCAD,CD平面PAD,CDAE, PDCD=D,AE平面PCD. 又AE 平面ACE，平面ACE平面PCD.,折叠问题的解答要注意以下几点 (1)抓住折叠前后不变的垂直关系； (2)抓住折叠前后不变的平行关系； (3)抓住折叠前后不变的长度和角度等不变量.一般地，在折线同侧的量折叠前后不变，跨
4、过折线的量，折叠前后可能会发生变化.,折叠问题,【例2】如图，在平行四边形ABCD中， 已知AD=2AB=2a， ACBD=E， 将其沿对角线BD折成直二面角. 求证：(1)AB平面BCD; (2)平面ACD平面ABD. 【审题指导】(1)由线段AB、AD、BD的长度关系可证ABBD，结合平面ABD平面BCD，可利用面面垂直的性质定理证明线面垂直. (2)利用(1)的结论可知平面ABD的垂线，即可证出.,【规范解答】(1)在ABD中，AB=a，AD=2a， AB2+BD2=AD2ABD=90,ABBD. 又平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCD=BD，AB 平面ABD, AB平面BCD.
5、,(2)四边形ABCD是平行四边形， 且ABBD，CDBD. AB平面BCD，ABCD. 又ABBD=B,CD平面ABD. 又CD 平面ACD,平面ACD平面ABD.,【变式训练】如图(1)，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，如图(2)所示，设AK=t，试求t的取值范围.,【解题提示】解答本题可分析两个特殊的位置即F与E重合，F与C重合的情况，然后根据AK长度随F点位置的变化规律写出t的取值范围.,【解析】过点D作DGAF，垂足为G，连接GK. 平面A
6、BD平面ABC， 平面ABD平面ABC=AB， 且DKAB, DK平面ABC,DKAF. 又DGDK=D,AF平面DKG， AFGK,在原长方形ABCD中，D、G、K三点共线.,如下图所示，当F接近E点时，K接近AB的中点，此时t=1； 当F接近C点时，K接近AB的四等分点， 此时,垂直的转化关系,平行、垂直关系的综合应用,是面面垂直的定义;是线面垂直的判定定理. 是线面垂直的定义.是面面垂直的判定定理. 是面面垂直的性质定理.是线面垂直的性质定理. 是若ab，a，则b. 是若，a，则a. 是若a，a，则.由以上可知线面垂直是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，也是联系“垂直关系”与“平行关系”的
7、重要环节.,【例3】(2010江西高考改编)如图， BCD与MCD都是边长为2的正三角形， 平面MCD平面BCD，AB平面BCD，O为CD的中点，连接AM并延长 交平面BCD于点E,连接CE，DE. (1)求证：B、O、E三点共线. (2)求证：四边形BCED是平行四边形.,【审题指导】(1)证明三点共线的基本方法是由其中两点确定一条直线，并说明此直线是某两个平面的交线，然后再证明点在这两个平面的交线上. (2)证明的关键是说明对角线互相平分.,【规范解答】(1)连接OM. MCD是等边三角形，O是CD的中点,OMCD. 又平面MCD平面BCD， 平面MCD平面BCD=CD OM 平面MCD,
8、OM平面BCD.,又AB平面BCD,ABOM,AB与OM共面. 又平面ABOM平面BCD=BO, EAM 平面ABOM，E平面BCD, EBO, B、O、E三点共线.,(2)在等边三角形MCD中,而 且OMAB,EOMEBA,O为BE的中点. 又O为CD的中点， 四边形BCED是平行四边形.,【变式训练】(2011 浙江高考)下列命题中错误的是( ) (A)如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 (B)如果平面 不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 (C)如果平面平面，平面平面，=l,那么l平面 (D)如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面,【解题提示】利用面面垂直的
9、性质定理逐一判断. 【解析】选D.如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的.,立体几何问题中的计算问题 (1)关键：计算依据的证明.计算是建立在证明有关结论的基础之上的，缺少了算理的支撑，盲目计算显得毫无意义.,与面面垂直有关的计算问题,(2)常见问题及解决方法： 求角问题.主要是计算异面直线所成的角、二面角的平面角. 距离问题.主要是计算点与点、点与线、点与面的距离. (3)解题步骤.“一作、二证、三算”.“一作”是关键，实际上在这一步就应该设计好解题思路.,【例】如图，在三棱锥ABCD中，平面 ABD平面BCD，BADB
10、DC90，BC2CD (1) 求AC的长； (2) 求证：平面ABC平面ACD.,【审题指导】(1)根据平面ABD平面BCD，为了利用面面垂直的性质，要在其中一个平面内作直线BD的垂线，找到线面垂直关系，构造直角三角形，求AC的长. (2)在平面ABD 平面BCD的条件下，根据CDBD可证CD平面ABD，结合ABAD这一条件可考虑证明AB平面ACD，进而证明平面ABC平面ACD.,【规范解答】 (1)取BD的中点O,连接OA、OC. AB=AD，AOBD. 又平面ABD平面BCD, 平面ABD平面BCD=BD, AO 平面ABD,AO平面BCD. 又OC 平面BCD，AOOC.,在ABD中，B
11、AD=90， BD=6，AO=3. 在BCD中，BDC=90，BC2CD，BD=6 由BD2+CD2=BC2,得 在RtOCD中， 在RtAOC中，,(2)CDBD，平面ABD平面BCD, 且平面ABD平面BCD=BD，CD 平面BCD, CD平面ABD,CDAB. 又ABAD且ADCD=D, AB平面ACD，又AB 平面ABC, 平面ABC平面ACD.,【变式备选】边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将AEF沿EF折起，此时A点的新位置A使平面AEF 平面BEF，试求AB的长度.,【解析】过A作AGBC，AGEF=O，连接OA、OB, 则由ABC是等边三角形可知O、G分别为
12、EF、BC的中点，AE=AF，O为EF的中点,AOEF. 又平面AEF平面BEF, AO平面BEF,AOBO.,【典例】(12分)(2010全国改编) 如图，四棱锥S-ABCD中，SD平面 ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1, SD=2，BCBD，E为棱SB上的一点， 平面EDC平面SBC. (1)证明DE平面SBC. (2)证明SE=2EB. 【审题指导】由平面EDC平面SBC可考虑作或找这两个平面交线的垂线.,【规范解答】 (1)连接BD,SD平面ABCD,故BCSD,又BCBD,BC平面BDS, BCDE. 2分 作BKEC,K为垂足,因平面EDC平面SBC, 故BK平面EDC
13、, BKDE. 4分 又BK 平面SBC，BC 平面SBC ， BKBC=B，DE平面SBC. 6分,(2)由(1)知DESB, 8分10分SE=2EB. 12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】(2010北京高考改编)如 图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平 面互相垂直，EFAC， CE=EF=1， 求证：CF平面BDE.【解题提示】条件中给出了面面垂直，要证明线面垂直，就要利用面面垂直的性质，找到平面BDE的垂线.,【证明】设ACBD=G，连接FG，EFCG，EF=CG=1，且CE=1，四边形CEFG为菱形，CFEG. 四边形ABCD为正方形，BDAC.
14、 又平面ACEF平面ABCD， 且平面ACEF平面ABCD=AC， BD平面ACEF，BDCF. 又BDEG=G,CF平面BDE.,1.若平面，直线a，则( ) (A) a (B)a或a (C)a与相交 (D)a 或a或a与相交 【解析】选D.如图所示， ，a ,显然a，但是 a的位置在内是不确定的，因此 a 或a或a与相交.,2.已知，=l，Pl，则给出下列四个结论： 过P和l垂直的直线在内； 过P和垂直的直线在内； 过P和l垂直的直线必与垂直； 过P与垂直的平面必与l垂直. 其中正确的是( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选A.如图所示，m过点P且ml,但是m不在内也不与垂直，故错误. 平面过点P且与垂直，但是不与l垂直，故错误.对于由面面垂直的性质定理可知过P和垂直的直线是唯一的，且在内.,3.如果，且=l，直线a ，直线b ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b( ) (A)可能垂直，不可能平行 (B)可能平行，不可能垂直 (C)可能垂直，也可能平行 (D)不可能垂直，也不可能平行,
