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1、,第二章 随机变量及其分布,为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.,例 灯泡寿命可用一个连续变量 T 来描述.,例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述,2.1 随机变量及其分布函数,设 是试验E的样本空间, 若,则称 X ( ) 为 上的 随机变量,r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.,定义,简记 r.v. X .,2.1 随机变量及其分布函数,此映射具有如下特点,2.1 随机变量及其分布函数, 表示 “某天9:00 10:00 接到电话次数超过100” 这一事
2、件,2.1 随机变量及其分布函数, = 儿童的发育情况 ,X() 身高,Y() 体重,Z() 头围.,各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系 即相互独立,2.1 随机变量及其分布函数,离散型,非离散型,r.v. 分类,引入 r.v. 重要意义, 任何随机现象可被 r.v.描述, 借助微积分方法进行讨论,2.1 随机变量及其分布函数,为 X 的分布函数.,设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数,定义,用分布函数计算 X 落在( a ,b 里的概率：,2.1 随机变量及其分布函数,分布函数的性质,F ( x ) 单调不减，即,且,F ( x ) 右连续，即,2.1 随机变量及其
3、分布函数,用分布函数表示概率,2.1 随机变量及其分布函数,2.2离散型随机变量及其概率分布,定义,若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量。,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,2.2 离散型随机变量及其概率分布,分布律的性质,X ,或,2.2 离散型随机变量及其概率分布,F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .,其中 .,2.2 离散型随机变量及其概率分布,解,例1 设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地以概率 p 允许汽车通过.,首次停
4、下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数.,令 X 表示,2.2 离散型随机变量及其概率分布,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,2.2 离散型随机变量及其概率分布,1,2.2 离散型随机变量及其概率分布,用分布律或分布函数来计算事件的概率,例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计算,例2,解,或,此式应理解为极限,例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标 必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需 轰击次数 X 的概率分布.,帕斯卡
5、分 布,2.2 离散型随机变量及其概率分布,注,利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质,当,归纳地,令,(1) 0 1 分布,是否超标等等.,凡试验只有两个结果, 常用0 1,分布描述, 如产品是否合格、人,口性别统计、系统是否正常、电力消耗,0 p 0 为常数,2.3 连续型随机变量,2.3 连续型随机变量,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,2.3 连续型随机变量,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,解 (1),例3 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内 发生故障的次数 N( t ) (t), 求,相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行小时的情况下,再正常运行 10 小时的概率.,
