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1、,Mechanics of Materials,Chapter 4 Internal forces in beams,材料力学,第四章 弯曲内力,4-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems),第四章 弯曲内力 ( Internal forces in beams ),4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 (Shear-forceshear-force&bending- moment diagrams),4-2 梁的剪力和弯矩(Shear- force and bending- moment in beams),4-6 平面刚架和曲杆的
2、内力图 （Internal diagrams for frame members & curved bars),4-5 叠加原理作弯矩图 (Drawing bending-moment diagram by superposition method),4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(Relationships between load,shearforce,and bending moment),一. 工程实例（Example problem),4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems),二、基本概念（Basic concept
3、s),2、梁 (Beam) 以弯曲变形为主的杆件,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,(1) 受力特征,(2) 变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,1、弯曲变形（Deflection ),3、平面弯曲(Plane bending) 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.,A,B,梁变形后的轴线与外力在同一平面内,RA,F1,F2,RB,(3） 支座的类型,4、梁的力学模型的简化（Representing a real structure by an idealized model),(1） 梁的简化 通常取梁
4、的轴线来代替梁。,(2）载荷类型,集中力（concentrated force),集中力偶（concentrated moment),分布载荷（distributed load ),可动铰支座（roller support),固定铰支座 (pin support),固定端(clamped support or fixed end),5、静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams),例1 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm,钢的密度为： 7.8g/cm，液体的密度为：1g/cm ,液面高0.8m，外伸端长1
5、m，试求贮液罐的计算简图.,一、内力计算（Calculating internal force),举例已知 如图，F，a，l.求 距A端x处截面上内力.,解: 求支座反力,4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams),求内力截面法,1、弯矩(Bending moment )M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.,2、 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,1、剪力符号 (Sign convention for shear force),使dx 微段有 左端向上而右端
6、向下的相对错 动时,横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正.,二、内力的符号规定 （Sign convention for internal force),使dx微段有左端向下而右端向上的相对错 动时，横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段 有逆时针转动趋势的剪力为负.,当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正；,2、弯矩符号（Sign convention for bending moment),当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受拉压）时，横截面m-m 上的弯矩为负,解,(1)求梁的支反力 RA 和 RB,例题2 图示梁
7、的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 F1 ，尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩.,记 E 截面处的剪力为FSE 和弯矩 ME ，且假设FSE 和弯矩ME 的指向和转向均为正值.,解得,取右段为研究对象,计算 F点横截面处的剪力 FS 和弯矩 MF .,三、计算规律（Simple method for calculating shear-force and bending-moment),1、剪力 (Shear force),不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩.,2、弯矩（Bending moment
8、),左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN ， a = 230mm,b = 100 mm 和c = 1000 mm.求 C 、D 点处横截面上的剪力和弯矩.,解,(1)求支座反力,(2)计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC .,看左侧,(3)计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD .,看左侧,解,例题4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.,(1）求支座反力,(2）求1-1截面的内力,(3）求2-2截
9、面的内力,4-3 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 (Shear- force shear-force&bending-moment diagrams),FS= FS(x),M= M(x),一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bending-moment equations）用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1、剪力方程(Shear- force equation ),2、弯矩方程（Bending-moment equation）,弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,二、剪力图和弯矩图 (Shear-force
10、&bending-moment diagrams),剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图.,解 (1) 将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程 和弯矩方程,例题6 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,解 (1) 求支反力,(2）列剪力方程和弯矩方程.,剪力图为一倾斜直线.,绘出剪力图.,弯矩图为一条二次抛物线.由,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图
11、可见，此梁在跨中点截面上的弯矩值为最大,但此截面上 FS= 0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,解 (1)求梁的支反力,例题7 图示的简支梁在C点处受集中荷载 P作用. 试作此梁的剪力图和弯矩图.,因为AC段和CB段的内力方程不同， 所以必须分段写剪力方程和弯矩方程.,将坐标原点取在梁的左端,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由(1),(3)两式可知,AC,CB 两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线.,由(2),(4)式可知,AC,CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.,在集中荷载作用处的左，右 两侧截面上剪力值(图)有突变 .突变 值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角，该处弯矩值最
12、大.,解 求梁的支反力,例题8 图示的简支梁在 C点处受矩为m的集中力偶作用. 试作此梁的的剪力图和弯矩图.,将坐标原点取在梁的左端.,因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程,AC段,CB段,AC 段和 BC 段的弯矩方程不同,(2),(3),绘出梁的剪力图,由(1)式可见，整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线.梁的任一横截面上的剪力为,AC，CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.,(2),(3),x = a ，,x= l ， M = 0,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.,2、以集中力、集中力偶作用处、
13、分布荷载开始或结束处，及支 座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程，然后 绘出剪力图和弯矩图.,1、取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正;剪力图向上为正；弯矩图向上为正.,5、梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs = 0 的截面处.,小 结,3、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪（图）有突变， 其突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.,4、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图） 也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图 没有变化.,例题9 一简支梁受移动荷载 F 的作用如图所示
14、.试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置.,解 先设 F 在距左支座 A 为 x 的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.,荷载在任意位置时，支反力为,当荷载 P 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的弯矩为,令,此结果说明，当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.,得最大弯矩值,设梁上作用有任意分布荷载其集度,4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment),一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differential relationships bet
15、ween load,shear force,and bending moment),q = q (x),规定 q (x)向上为正.,将 x 轴的坐标原点取在 梁的左端.,假想地用坐标为 x 和 x+dx的 两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 一段.,x+dx 截面处 则分别为FS(x)+dFS(x) , M(x)+dM(x) .由于dx很小，略去q(x)沿dx的变化.,m-m截面上内力为 FS(x) ,M(x),x,m,m,n,n,dx,写出平衡方程,得到,略去二阶无穷小量即得,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小.,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处
16、剪力的大小.,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,二、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment diagrams),1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) 0 时，向右上方倾斜.,当 F S(x) 0 时，向右下方倾斜.,3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上.,4、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.,5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.,
