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1、第三章 刚体力学,三个平动，两个转角（ 中两个是独立的），一个自转。,（1）平动,（2）定轴转动,（3）平面平行运动,（4）定点转动,3.1 刚体运动的分析,独立变量有3个,独立变量有1个,独立变量有3个,独立变量有3个,1、确定刚体位置的独立变量,2、分类,（5）一般运动,独立变量有6个,1、无限小转角 是矢量（对易律成立）,即：,的大小为 ，方向为“瞬轴”方向，右手系。,得：,3.2 角速度矢量,证明： 为矢量,(2) 先转 后转,(1),(1) 先转 后转,略去二阶小量,比较(1)、(2)式，线位移 与 是可以对易的，故,(2),略去二阶小量,即,上式对任意 恒成立，故,所以， 为矢量。
2、,定理：任一常模矢量 对时间的微商，等于其角速度 与其本身的矢积。,2、角速度矢量,例： 单位矢量的微商公式,定义：,定轴转动,节线：,进动角:,章动角:,自转角:,3.3 欧拉角,节线ON,进动角,自转角,章动角,Z轴位置由、角决定,章动,进动,静系中：,动系中：,运动学方程,（2）力偶：两个大小相等、方向相反、作用线不在同一直线上的力。,（1）力的可传性原理：作用在刚体上的力所产生的力学效果，由力的量值、方向和作用线的位置决定，与作用点在作用线上的位置无关。,1、力系的简化,3.4 刚体运动方程与平衡方程,作用在刚体上的力可沿其作用线移动而其效果不变。故亦称力为滑移矢量。,O 点：,（3）
3、力的平行移动定理,力偶 可作用于力偶面上的任一点，亦称为自由矢量。,为作用在刚体A点上的一个力，O为空间任一点。,故O 点受到一个力 和一个力偶矩,（4）力系的简化,把作用在刚体上A点的力 ，平行移动到另一点O时，必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力 对O点的力矩。,共点力系的简化 平行四边形法则,共面非平行力系的简化 可传性原理+平行四边形法则,空间力系的简化 将作用于刚体上的空间力系向定点O简化，O称为简化中心。,平面平行力系的简化 合力的量值、方向由代数和确定合力的作用线用力矩关系确定,任意力系总可简化为通过简化中心O的一个单力 及一个力偶矩为 的力偶。,主矩,主矢,外力的主矢 使刚体的平
4、动状态发生变化，外力的主矩 则使刚体绕简化中心的转动状态发生变化。,2、刚体运动微分方程,对质心的动量定理,质心的运动规律与 固定点的一样,对质心的动量矩定理,将作用在刚体上的力系简化为过质心的一个单力及一个力偶。,(主矢),(主矩),原因,（1）上面7个方程只有6个是独立的。,（2） 是主矢，不是合外力。 是主矩，不能称为合外力矩。,（3）质心系是非惯性系时，不必计入惯性力矩。,动能定理可作为辅助方程：,3、平衡方程,即：刚体平衡时诸外力的矢量和为零和诸外力对任一定点或质心力矩的矢量和亦为零。,对平面力系( 平面为 Oxy 时 )：,二力平衡、作用与反作用力、力偶的区别是什么？,例1,一、刚
5、体的动量矩,说明： 一般与 不共线,3.5 转动惯量,将,代入，并令,主轴惯量,惯量积,对质量均匀分布（或按一定规律分布），且形状规则的刚体，以上诸式可改为定积分的形式。,惯量张量,则,即,二、刚体的转动动能,三、转动惯量,转动惯量,回转半径,令,则,平行轴定理,证：,四、惯量张量与惯量椭球,代入,而,得,若 为过O点的任意转轴对坐标轴的方向余弦，则,上式可也写作,通常选取固连在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系，惯量系数都将是常数。,在转轴上截取线段,Q点的坐标,对惯量椭球方程，通过坐标系旋转总可找到一个满足标准方程的新坐标系，使得：,五、惯量主轴及其求法,惯量主轴,主转动惯量,惯量椭球,
6、中心在O点的二次曲面,则,对刚体中的任一点，恒有三个互相垂直的惯量主轴。,一般坐标系下的惯量椭球,主轴坐标系下的惯量椭球,讨论,1.,坐标系不同, 张量中各元素不同, 但 不变,（ 矩阵等价. 不是相等）,行列式值不变,刚体的 在瞬轴方向，而 是对点而言的，总可找到一参考点，使 与 共线。,4. 参考点应选在刚体瞬轴上，在刚体瞬轴上总可找到一点使 与 同方向。,5. 惯量主轴（找 I1，I2，I3 的方法）,即：,有非零解。,同理：Iy=I2=2，Iz=I3=3，其它I=0,( 因 为实对称 矩 阵, 相互正交),以此三个方向为 x,y,z 方向建立坐标系 = 主轴坐标系,亦 即：二次齐次多项
7、式的化简问题.（ F(x,y,z) 为正定二次型）,故：Ix=I1=1，Iyx=0，Izx=0,实际中的方法：由刚体质量分布找对称轴为主轴，进而确定主轴坐标系。,定理1：质量分布的对称轴是主轴。,如是 ox 轴，则必有：,定理2：若ox 轴是刚体对称平面的垂直轴，则ox 轴是对其与对称平面交点的一个惯量主轴。,也说明其它两个主轴在对称平面上.,例：P.182，主要了解三种方法的思路.,讨论：如果已知惯量椭球，可得以下结果,（即 已知O 点的主轴坐标系中的惯量椭球方程：Ixx2+Iyy2+Izz2=1）,可求得刚体对 O 点任意方向轴的转动惯量,则有：,设刚体绕 OP 轴转动，P（x,y,z）在椭球面上，,那么：,2. 确定,则：,说明：,与 P 点切面的 法线 同方向，即 点的切面.,由此也可看出，在椭球面上存在三组 对应的 6 个点，构成两两正交的三条直线，此三条直线 即为 构成主轴坐标系.,3. 已知 的大小和方向，可求 的大小和方向.,在 的方向的投影为 :,的方向：,4. 刚体的动能,纯转动：,一般情况：,
