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1、,返回总目录,范钦珊教育与教学工作室,2018年9月16日,返回总目录,工程力学,清华大学 范钦珊,课堂教学软件(15),第三篇 运动学与动力学,工程力学,第15章 刚体的平面运动,第三篇 运动学与动力学,工程力学,第15章 刚体的平面运动,刚体的平面运动分析，就是以刚体平移和定轴转动为基础，应用运动分解与合成的方法，分析和研究工程中常见而又比较复杂的运动刚体的平面运动。这既是工程运动学的重点内容，同时也是工程动力学的基础。, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面图形上各点的速度分析, 平面图形上各点的加速度分析, 结论与讨论, 运动学综合应用举例, 刚体平面运动实例, 参考性例题,第15章 刚
2、体的平面运动,返回总目录, 刚体平面运动实例,返回,第15章 刚体的平面运动, 刚体平面运动实例, 刚体平面运动实例, 刚体平面运动实例, 刚体平面运动实例, 刚体平面运动实例, 刚体平面运动实例,刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。, 刚体平面运动方程及运动分解,返回,第15章 刚体的平面运动, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的力学模型, 刚体平面运动的运动方程, 平面运动分解为平移和转动, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的力学模型, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的力学模型,这些平面上的对应的点具有相 同运动轨迹、速度和
3、加速度。,特 点,刚体上平行于固定平面的 所有平面具有相同的运动规律；,刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的力学模型,刚体平面运动的力学模型平面图形,平面图形在刚体上作平行于 固定平面的平面，这样的平面与 刚体轮廓的交线所构成的图形。,平面图形上的任意直线这一 直线的运动可以代表平面图形的 运动，也就是刚体的平面运动。, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的运动方程, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,确定直线AB或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(x
4、A , yA , )。其中xA , yA确定点A在平面内的位置； 确定直线AB在平面内的方位；因此， xA 、yA 、 便确定了直线AB在参考系中的位置，从而也确定了平面图形在参考系中的位置。, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,广义坐标确定物体在参考系中位置的独立变量：,q=(xA,yA, ), 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,平面运动刚体的自由度,N3,自由度确定物体在参考系中位置所需要的广义座标数：N,广义坐标确定物体在参考系中位置的独立变量：,q=(xA,yA, ), 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运
5、动的自由度、广义座标与运动方程,刚体平面运动方程,3个独立变量随时间变化的函数，即为刚体平面运动方程：, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,例 题 1, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,已知：曲柄滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA以等角速度 绕O轴转动。,求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。,例 题 1, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,解：1、确定连杆平面运动的3个独立变量与时间的关系,首先确定与之间的关系，为此需要建立参
6、考系Oxy。,由图中的几何关系，有, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,解：1、确定连杆平面运动的3个独立变量与时间的关系,对于A点，, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,2、连杆上P点的运动方程:,考察连杆AB上P点的座标与和 的关系，进而建立P点的座标与时间之间的关系。,2、连杆上P点的运动方程,应用泰勒公式，忽略4次方以上的项, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,并利用三角公式,2、连杆上P点的运动方程, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程
7、,3、连杆上P点的速度与加速度：将运动方程分别对时间t求一次和二次导数，可以得到P点的速度和加速度表达式, 刚体平面运动方程及运动分解, 刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动,由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB的方位不变（即=常数），则刚体将作平移。,可见，平面图形的运动可以看成是平移和转动的合成运动。, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动, 刚
8、体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动,设在时间间隔t内，平面图形由位置I运动到位置，相应地，图形内任取的线段从AB运动到A B 。,在A点处假想地安放一个平移坐标系，当图形运动时，令平移坐标系的Ax 和Ay 轴始终分别平行于定坐标轴Ox和Oy，通常将这一平移的动系的原点A称为基点（base point）。, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动,于是，平面图形的平面运动分解为随同基点A的平移（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动,平移的轨迹、速度与加速度都与基点的位置有关。, 刚体平面运动方程及运动
9、分解, 平面运动分解为平移和转动,和分别称为称为平面图形的角速度和角加速度。,平面运动的转动角速度以及角加速度 都与基点的位置无关, 刚体平面运动方程及运动分解, 平面运动分解为平移和转动,凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，只需说明平面图形的角速度和角加速度。,因为平移系(动系)相对于定参考系没有方位的变化，平面图形的角速度既是平面图形相对于平移系的相对角速度，也是平面图形相对于定参考系的绝对角速度。,平面运动的转动角速度以及角加速度 都与基点的位置无关, 平面图形上各点的速度分析,返回,第15章 刚体的平面运动, 平面图形上各点的速度分析, 基点法, 速度投影定
10、理法, 瞬时速度中心法, 平面图形上各点的速度分析, 基点法, 平面图形上各点的速度分析, 基点法,在作平面运动的刚体上任选基点，建立平移动系，动系上的A点随平面图形S上的A点一起运动。在平移动系上观察平面图形S的运动为定轴转动，动系自身又作平移，因此，平面图形S的运动可视为平移和转动的合成。, 平面图形上各点的速度分析, 基点法,定系Oxy,基点A,平移系Axy,平面图形S,平面图形的角速度 ,基点速度 vA,速度合成定理 va= ve+ vr,定轴转动时的速度公式 vBA rB,B点的相对速度 vBA,B点的绝对速度 vB, 平面图形上各点的速度分析, 基点法,速度合成定理 va= ve+
11、 vr,定轴转动时的速度公式 v r ,在平移系中为：,va= vB,ve= vA,vr= vBA,vBA rB,平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。, 平面图形上各点的速度分析, 速度投影定理法, 平面图形上各点的速度分析, 速度投影定理法,应用速度合成定理,等号两侧同点乘以 rAB,因为vAB垂直于rAB,速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。, 平面图形上各点的速度分析, 速度投影定理法,这个定理的含义也可以从另一角度理解：平面图形是从刚体上截取的，图形上A、B两点的距离应保持不变。所以这两点的速度在AB方
12、向的分量必须相等。否则两点距离必将伸长或缩短。因此，速度投影定理对所有的刚体运动形式都是适用的。,应用速度投影定理分析平面图形上点的速度的方法称为速度投影定理法。,速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法, 瞬时速度中心的概念, 应用瞬时速度中心确定刚体平面运动的速度 速度瞬心法, 几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法,平面图形S上的基点A，基点 速度vA ,平面图形角速度0 。,过A点作vA的垂直线PA，P A上各点的速度由两部分组
13、成：,跟随基点平移的速度vA 牵连速度，各点相同；,相对于平移系的速度vPA 相对速度 ，自A点起线性分布。,瞬时速度中心的概念, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法,vC A,在直线PA上存在一点C ，这一点的相对速度v C A与牵连速度vA矢量大小相等、方向相反。,因此，C 点的绝对速度 v C 0。 C 点称为瞬时速 度中心，简称为速度瞬心。,瞬时速度中心的概念, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法,瞬时速度中心的概念速度瞬心的特点,1、瞬时性不同的瞬时，有不同的速度瞬心；,2、唯一性某一瞬时只 有一个速度瞬心；,3、瞬时转动特性平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬
14、时的速度瞬心作瞬时转动., 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法,应用瞬时速度中心确定刚体平面运动的速度 速度瞬心法,当平面图形在t瞬时的速度瞬心C 以及瞬时角速度均为已知时，可以以C 为基点，建立平移系，进而分析平面图形上各点的运动。,速度瞬心C 到图形上的任意点(例如A、B、C)位矢,上各点的牵连速度等于零；绝对速度等于相对速度，垂直于位矢，并沿位矢方向线性分布。,rC A ，rC*B ， rC*C, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法,应用瞬时速度中心确定刚体平面运动的速度 速度瞬心法,这时，根据速度合成定理，平 面图形上任意点(例如B点)的速度为,vB= vA+ vBA,
15、其中 vA v C 0， vBA vB C ,vB vB C r C*B,应用瞬时速度中心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法，称为速度瞬心法。,第一种情形, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法,几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定,已知平面图形上两点的速度 矢量的方向，这两点的速度矢 量方向互不平行。,过A、B两点分别作矢量vA和vB的垂直线，两条直线的交点即为速度瞬心。, 平面图形上各点的速度分析, 瞬时速度中心法,第二种情形,几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定,已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。,
