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1、1,第三篇 动力学,2,动力学,引 言,一.研究对象：,二.力学模型：,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。,1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。,3,动力学,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。,三.动力学分类:,质点动力学 质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础。,四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：第一类：已知
2、物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。,4,第七章 质点运动微分方程,5,动力学,将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,1.矢量形式,7-1 质点运动微分方程,2.直角坐标形式,一、质点运动微分方程,6,动力学,3.自然形式,质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。,7,动力学,1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）,二、 质点动力学两
3、类问题,解题步骤和要点：正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。求解未知量。,8,动力学,例1 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,解：选重物(抽象为质点)为研究对象受力分析如图所示,运动分析，沿以O为圆心, l 为半径的圆弧摆动。,9,动力学,列出自然形式的质点运动微方程,求解未知量,注减小绳子拉力途径：减小跑车速
4、度或者增加绳子长度。拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。,10,动力学,2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。,解题步骤同前。注意：应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。,如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量 。,如力是位置的函数，需进行变量置换,11,动力学,列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算,微分方程 积分一次 再积分一次,解：属于已知力为常
5、量的第二类问题。选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。,例2 煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 与水平的夹角a0？,12,动力学,代入最高点A处值，得： 即 将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得,发射初速度大小与初发射角 为,13,动力学,例3 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。,解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。,则在任意位置时的速度,即：,(a),14,动力
6、学,（第二宇宙速度）,当物体到达最高点时，x=xmax，v=0,解得：,由（a）知，要使物体脱离地球的引力，必须x=；而由（b）知，要使x= ，必须,（b）,15,动力学,7-2 质点相对运动动力学方程,前面讨论了质点在惯性参考系中的运动，即绝对运动，本节将讨论质点在非惯性参考系（动系）中的运动，即相对运动。工程实际中经常遇到质点在非惯性参考系中的运动，如研究气轮机、水轮机或水泵中的气流或水流相对于叶片的运动，固结在转轮上的参考系就是非惯性参考系,16,动力学,设质点M，相对于非惯性参考系Ozyz（动系）运动。受有力F（主动力和约束力）作用，其相对加速度为ar。动系相对于惯性参考系Oxyz运动
7、。按牛顿第二定律：,由点的合成运动知,于是：,或：,令 牵连惯性力科氏惯性力,17,动力学,则：,这就是质点相对运动动力学基本方程。,直角坐标投影：,18,动力学,自然轴投影：,特殊情况：,(1)当动系相对于静参考系作平动时，因ac=0，则FgC =0。于是：,(2)当动系相对于静参考系作匀速直线运动时，因ae=0和ac=0 ，则Fge =0， FgC =0 ，于是：相对运动动力学基本方 程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样，即,相对运动动力学基本方程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样。,19,动力学,上式说明，对这样的参考系，牛顿定律也是适用的。因此所有相对于惯性参考系作匀速直线平动的参
8、考系都是惯性参考系。上式中不包含与牵连运动有关的项，这说明，当动系作惯性运动时，质点的相对运动不受牵连运动的影响。因此可以说：发生在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于发觉该参考系本身的运动情况，以上称为相对性原理。,(3)当质点相对于动系静止时，即ar=0， vr=0因此有 FgC=0。于是：,上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。,20,动力学,(4)当质点相对于动参考系作匀速直线运动时，有ar=0，于是,上式称为质点相对平衡方程。可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不相同的。,注意
9、：牵连惯性力和科氏惯性力氏为了在非惯性参考系中也能应用牛顿定理而假想的，对惯性参考系中的观察者来,说是不存在的。如放在车厢内光滑水平板上的小球，对在地球上的观察者来说，它只受到 W、N的作用，但对于坐在车厢中的人看来，惯性力又是存在的，当车厢以加速度a向前运动时小求将向后运动。也就是说，对于非,21,动力学,惯性参考系的人，小球受到除W、N外，还有Fge的作用（FgC=0）。实际上，使小球向后运动的施力物体是没有的。小球向后运动，只是为了保持原来的运动状态（惯性）不变。可见，在惯性参考系中表现出的惯性，在非惯性参考系中就以惯性力的形式反映出来。,22,动力学,例：半径为r的光滑圆环，以匀加速度a铅直向上运动。质量为m的小球穿在圆环上，小球相对圆环在j=0的位置由静止开始运动。求（1）小球的相对速度；（2）小球对圆环的最大压力。,解：研究对象：小球,将动系固结在圆环上，因动系作平动，所以FgC=0Fge=mae=ma 小球相对运动的动力学方程：,t：mart=(W+Fge) cos j （1）,n： marn=N-(W+Fge) sin j （2）,23,动力学,于是：,由（3）,24,动力学,积分得：,于是：,由（4）得：,当j=p/4时，Nman=3m（g+a）,25,动力学,第七章结束,
