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1、著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数，首先用表示连加，首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式,欧拉,欧拉公式及其应用,讨论,问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表,规律：,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,20,12,30,(4),问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表,讨论
2、,5,8,5,7,8,12,图形编号,顶点数V,面数F,棱数E,（5）,（6）,16,13,28,（7）,多面体,简单多面体,表面经过连续变形能变成一个球面的多面体,V+F-E=2,简单多面体,欧拉公式,问题2：如何证明欧拉公式,讨论,问题2：如何证明欧拉公式,讨论,压缩成平面图形,思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为,思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ,nF边形，各个面的内角总和是多少？,(n1-2) 1800+ (n2-2) 1800+ (nF-2) 1800=(n1+n2+nF-2F） 1800,思考3： n1+n2+nF
3、和多面体的棱数E有什么关系,n1+n2+nF =2E,问题2：如何证明欧拉公式,讨论,压缩成平面图形,多边形内角和=（EF）3600,思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？,2（m-2) 1800+(V-m) 3600=(V-2) 3600,（E-F）3600= (V-2) 3600,问题2：如何证明欧拉公式,讨论,V+F-E=2,欧拉公式,压缩成平面图形,问题3:欧拉公式的应用,例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，
4、从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个,由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= （360）,问题3:欧拉公式的应用,例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个,由题意有顶点数V=60，面
5、数=x+y，棱数E= （360）,根据欧拉公式，可得 60+（x+y) （360）=2,另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即（5x+6y)= （360）,由以上两个方程可解出 x=12,y=20,答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个,例2、有没有棱数是7 的简单多面体？,解：假设有一个简单多面体的棱数E=7,根据欧拉公式得 V+F=E+2=9,因为多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情形：,V=4，F=5 或 V=5，F=4,但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体,问题3:欧拉公式的应用,1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V4的关系,练习,（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V和面数F又有怎样的关系？,2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数,F=V- 2,F=12 E=30,小结,猜想,证明,应用,空间问题平面化,作业 P.69 阅读材料,V+F-E=2,欧拉公式,
