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1、线性代数,数学专业教研室 数理楼224B,第一章 行列式,行列式的定义与性质 行列式展开定理 克莱姆法则,用消元法解二元线性方程组,1.1.1二阶、三阶行列式,1.1 行列式的定义与性质,一、二阶行列式,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,1.二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,当 时，则二元线性方程组的解为,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,1.三阶行列式的计算,主对角线,副对角线,(2)对角线法则,说明1 对角线法
2、则只适用于二阶与三阶行列式,说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,例2,解,按对角线法则，有,1.1.2全排列及其逆序数,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,问题,定义1,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,一、全排列,定义2 在一个排列 中，若个元素的先后次序与标准次序不同即数 则称这两个数组成一
3、个逆序.,例如排列32514 中，,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,二、排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,1.排列的奇偶性,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,例1 求排列32
4、514的逆序数.,2.计算排列逆序数的方法,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,一、对换的定义,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,1.1.3对换,二、对换与排列的奇偶性的关系,定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,当 时，,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.,（1）相邻对换,所以一个排列
5、中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,(2)设排列为,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,一、概念的引入,三阶行列式展开式中的一般项可以写成,行标排成标准次序123,1.1.4 n阶行列式,列标 是1，2，3的某个排列,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,例如:,二、n阶行列式的定义,定义1,例1 计算一阶行列式|a|,说明,1、行列式是一种特定的算式;,3、 阶行列式是 项的代数和;,2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆
6、;,5、 的符号为,对于D中任意一项,用乘法的交换律可以换成,定义2 阶行列式也可定义为,由定理1的推论,其中s为行标排列 的逆序数.,例2 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以 只能等于 ,同理可得,解,从而 不为零，,即行列式中不为零的项为,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3 计算上三角行列式,例4,同理可得下三角行列式,例5 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,例6 已知,解,含 的项有两项,即,对应于,1.1.5行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,例如：,证明,按定义,性质1.1 行列式与它
7、的转置行列式相等.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质1.2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,于是,则有,当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,性质1.3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,问题： （1）如果行列式的所有行（或列）中所有元素的共同公因子k提到行列式符号的外面，会如何？ （2）如果行列式的所有行（或列）中所有元素都乘以数k得到的
8、行列式与原行列式的关系如何？,性质1. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质1.5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,性质1.6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例,例2 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例3,证明,证明,一、余子式与代数余子式,1.2 行列式展开定理与克莱姆法则,1.2.1行列式展开定理,例1,叫做元素 的代数余子式,例2,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所
9、有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,二、行列式的展开定理,证明,(1)当 位于第一行第一列时,(2)一般情形,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证明,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,例5,求第一行各元素的代数余子式之和,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,设线性方程组,则称此方程组为,非齐次线性方程组;,此时称方程组
10、为齐次线性方程组.,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,1.2.2克莱姆法则,二、克拉姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,例1 用克拉默则解方程组,解,定理4 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理5 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,定理4 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.,定理5 如果齐次线性方程组 有非零解，则它的系数行列式必为零.,有非零解.,系数行列式,例2 问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,
