《幻灯片1-等差数列》由会员分享,可在线阅读,更多相关《幻灯片1-等差数列(36页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题四 数 列 第1讲 等差数列、等比数列1.an与Sn的关系Sn=a1+a2+an,2.等差数列和等比数列,3.求和先研究数列的通项,根据通项选择方法,化 归为基本数列求和.(1)若cn=anbn,an为等差数列,bn为等比数列,则用错位相减法.(2)若cn=an+bn,则用分组求和,其中分组的方法 比较灵活.(3)裂项相减法形如an= 等.(4)倒序相加法.,一、等差数列的通项及前n项和 例1 已知an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求an的通项an;(2)求an前n项和Sn的最大值.思维启迪 由a2及a5的值,可求出等差数列an的首项a1及公差d,从而求出通项公式an.再
2、由Sn的公式可求出Sn的表达式,利用二次函数求最值即可求出Sn的最大值.,解 (1)设an的公差为d,由已知条件,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+ =-n2+4n=4-(n-2)2.所以当n=2时,Sn取得最大值4.探究提高 (1)涉及等差数列的有关问题时往往用待定系数法“知三求二”进而解决问题; (2)等差数列前n项和的最值问题,经常转化为二次函数的最值;有时利用数列的单调性(d0,递增;d0且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(1)证明 由题意,Sn=bn+r,当n2时,Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1 (b-1).由
3、于b0且b1,所以n2时,an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),(2)解,三、等差、等比数列的综合问题 例3 将数列an中的所有项按每一行比上一行 多一项的规则排成如下数表:a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1.Sn为数列bn的前n项和,且满足,(1)证明:数列 成等差数列,并求数列bn的 通项公式; (2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到 右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 a81=- 时,求上表中第k(k3)行所有项的和.思维启迪 (1)巧妙地对 变形得
4、到 是等差数列,进而求出bn. (2)通过此表的分析得出a81在表中的位置,即确定首项和公比,求出第k行的所有项的和.,(1)证明 由已知,当n2时, ,又Sn=b1+b2+bn,所以 ,即 =1,所以 ,又S1=b1=a1=1.所以数列 是首项为1,公差为 的等差数列.由上可知 所以,当n2时,bn=Sn-Sn-1= .,因此,(2)解 设上表中从第3行起,每行的公比都为q,且 q0. 因为1+2+12= =78,所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项, 故a81在表中第13行第3列,因此a81=b13q2=- .又b13=- ,所以q=2.记表中第k(k3)行所有项的和为S,则S
5、=,n=1, n2.,探究提高 数列项的变化呈规律性,这是等差、等比数列的特征,在高考中,这种变化的规律性经常用数表或图形给出,也可以是给出信息根据新信息解题,对考查学生的创新能力提出了较高的要求.新课标教材的学习,十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活.解这类问题要先读懂题意,从题目中获取有用信息,然后根据相关知识作进一步的演算和推理,综合运用新的信息和数学知识分析,解决新情境问题.,变式训练 3 (2009全国理,19)设数列an 前n项和为Sn,已知a1=1.Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明:数列bn是等比数列; (2)求数列an的通项公式.解 (1)由已
6、知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.因此数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.,(2)由(1)知等比数列bn中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=32n-1,于是 ,因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,所以an=(3n-1)2n-2.,规律方法总结1.在等差或等比数列中,已知五个元素a1,an,n,d(或q),Sn中的任意三个,运用方程的思想,便可求出其余两个,即“知三求二”.本着化
7、多为少的原则,解题时需抓住首项a1和公差d(或公比q). 2.数列an是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法: 利用定义,证明an+1-an(nN*)为常数;利用中项性质,即证明 =an-1+an+1(n2).(2)证明an是等比数列的两种基本方法:利用定义,证明 (nN*)为一常数;利用等比中项,即证明 =an-1an+1(n2).,3.常用性质(1)等差数列an中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;等比数列an中,若m+n=p+q,则aman=apaq;(2)在等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-(k-1)n,成等差数列,其中
8、Sn为前n项的和,且Sn(nN+);在等比数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k -1)n,成等比数列,其中Sn为前n项的和,且Sn0(nN+).(3)在等差数列an中,有S2n-1=(2n-1)an.事实上,对于等差数列an,有,(4)对于等差数列an若项数为2n(nN*),则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项)S偶-S奇=nd; ; 若项数为2n-1(nN*),则S2n-1=(2n-1)a中,S奇-S偶=a中, .,一、选择题 1.(2009重庆文,5)设an是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则an的前n项和Sn= (
9、 )A. B. C. D. 解析 a1,a3,a6成等比数列,则(a1+2d)2=a1(a1+5d),a1d=4d2,d= ,Sn=na1+,A,2.(2009辽宁理,6)设等比数列an的前n项和为 Sn,若 =3, 等于 ( ) A.2 B. C. D.3解析 由题意知q3=2.,B,3.(2009菏泽调研)在等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为 ( ) A.20 B.22 C.24 D.-8解析 a1+3a8+a15=5a8=120a8=242a9-a10=2(a8+d)-(a8+2d)=a8=24.故选C.,C,4.已知等比数列an中a2=1,则其前3项的
10、和S3的取 值范围是 ( ) A.(-,-1 B.(-,0)(1,+) C.3,+) D.(-,-13,+)解析 设等比数列的公比为q,a2=1,a1= ,a3=a2q=q.S3= +1+q,当q0时,S33(q=1时取等号);当q1,a99a100-10, 1成立的最大自然数n等于198.其 中正确的结论是 .,解析 由,正确,正确.,错,由T198=a1a2a198=(a1a198)(a2a197)(a99a100)=(a99a100)991,T199=a1a2a199=(a1a199)(a2a198) (a99a101)a100=(a100)1991,正确.答案 三、解答题 8.(2008四川理,20)设数列an的前n项和为Sn, 已知ban-2n=(b-1)Sn.(1)证明:当b=2时,an-n2n-1是等比数列;(2)求an的通项公式.,