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1、专题四 数 列 第1讲 等差数列、等比数列1.an与Sn的关系Sn=a1+a2+an,2.等差数列和等比数列,3.求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，化 归为基本数列求和.（1）若cn=anbn，an为等差数列，bn为等比数列，则用错位相减法.（2）若cn=an+bn，则用分组求和，其中分组的方法 比较灵活.（3）裂项相减法形如an= 等.（4）倒序相加法.,一、等差数列的通项及前n项和 例1 已知an是一个等差数列，且a2=1,a5=-5. （1）求an的通项an；（2）求an前n项和Sn的最大值.思维启迪 由a2及a5的值，可求出等差数列an的首项a1及公差d，从而求出通项公式an.再
2、由Sn的公式可求出Sn的表达式，利用二次函数求最值即可求出Sn的最大值.,解 （1）设an的公差为d,由已知条件，所以an=a1+（n-1）d=-2n+5. （2）Sn=na1+ =-n2+4n=4-（n-2）2.所以当n=2时，Sn取得最大值4.探究提高 （1）涉及等差数列的有关问题时往往用待定系数法“知三求二”进而解决问题； （2）等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值；有时利用数列的单调性（d0,递增；d0且b1，b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值；（1）证明 由题意，Sn=bn+r,当n2时，Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1 (b-1).由
3、于b0且b1,所以n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),(2)解,三、等差、等比数列的综合问题 例3 将数列an中的所有项按每一行比上一行 多一项的规则排成如下数表:a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1.Sn为数列bn的前n项和,且满足,（1）证明：数列 成等差数列,并求数列bn的 通项公式； （2）上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到 右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 a81=- 时,求上表中第k（k3）行所有项的和.思维启迪 （1）巧妙地对 变形得
4、到 是等差数列，进而求出bn. （2）通过此表的分析得出a81在表中的位置，即确定首项和公比，求出第k行的所有项的和.,（1）证明 由已知,当n2时, ,又Sn=b1+b2+bn,所以 ,即 =1,所以 ,又S1=b1=a1=1.所以数列 是首项为1,公差为 的等差数列.由上可知 所以,当n2时,bn=Sn-Sn-1= .,因此,（2）解 设上表中从第3行起,每行的公比都为q,且 q0. 因为1+2+12= =78,所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项, 故a81在表中第13行第3列,因此a81=b13q2=- .又b13=- ,所以q=2.记表中第k（k3）行所有项的和为S,则S
5、=,n=1, n2.,探究提高 数列项的变化呈规律性，这是等差、等比数列的特征，在高考中，这种变化的规律性经常用数表或图形给出，也可以是给出信息根据新信息解题，对考查学生的创新能力提出了较高的要求.新课标教材的学习，十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活.解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理，综合运用新的信息和数学知识分析，解决新情境问题.,变式训练 3 （2009全国理，19）设数列an 前n项和为Sn,已知a1=1.Sn+1=4an+2. （1）设bn=an+1-2an，证明：数列bn是等比数列； （2）求数列an的通项公式.解 （1）由已
6、知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-（4an+2）=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2（an+1-2an)，即bn+1=2bn.因此数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.,（2）由（1）知等比数列bn中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=32n-1,于是 ,因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,所以an=（3n-1）2n-2.,规律方法总结1.在等差或等比数列中，已知五个元素a1,an,n,d(或q），Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”.本着化
7、多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差d(或公比q). 2.数列an是等差或等比数列的证明方法（1）证明数列an是等差数列的两种基本方法： 利用定义，证明an+1-an（nN*）为常数；利用中项性质，即证明 =an-1+an+1(n2).（2）证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明 (nN*)为一常数；利用等比中项，即证明 =an-1an+1(n2).,3.常用性质（1）等差数列an中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq；等比数列an中，若m+n=p+q,则aman=apaq；（2）在等差数列an中，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-（k-1）n,成等差数列，其中
8、Sn为前n项的和，且Sn（nN+）；在等比数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k -1)n,成等比数列，其中Sn为前n项的和，且Sn0(nN+).（3）在等差数列an中，有S2n-1=(2n-1)an.事实上，对于等差数列an,有,（4）对于等差数列an若项数为2n（nN*）,则S2n=n（an+an+1）（an,an+1为中间两项）S偶-S奇=nd； ； 若项数为2n-1（nN*）,则S2n-1=（2n-1）a中，S奇-S偶=a中， .,一、选择题 1.（2009重庆文，5）设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn= （
9、 ）A. B. C. D. 解析 a1,a3，a6成等比数列，则(a1+2d)2=a1(a1+5d),a1d=4d2,d= ,Sn=na1+,A,2.（2009辽宁理，6）设等比数列an的前n项和为 Sn,若 =3, 等于 （ ） A.2 B. C. D.3解析 由题意知q3=2.,B,3.（2009菏泽调研）在等差数列an中，a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为 （ ） A.20 B.22 C.24 D.-8解析 a1+3a8+a15=5a8=120a8=242a9-a10=2（a8+d）-（a8+2d）=a8=24.故选C.,C,4.已知等比数列an中a2=1，则其前3项的
10、和S3的取 值范围是 （ ） A.（-，-1 B.（-，0）（1，+） C.3，+） D.（-，-13，+）解析 设等比数列的公比为q,a2=1,a1= ,a3=a2q=q.S3= +1+q,当q0时，S33(q=1时取等号)；当q1,a99a100-10， 1成立的最大自然数n等于198.其 中正确的结论是 .,解析 由,正确,正确.,错,由T198=a1a2a198=（a1a198）（a2a197）(a99a100）=（a99a100）991,T199=a1a2a199=（a1a199）（a2a198） (a99a101）a100=（a100）1991,正确.答案 三、解答题 8.（2008四川理，20）设数列an的前n项和为Sn， 已知ban-2n=（b-1）Sn.（1）证明：当b=2时，an-n2n-1是等比数列；（2）求an的通项公式.,
