混沌-分形-混沌控制

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1、智能控制导论,教 师： 王 牛 电 话: 13983843208 E-MAIL:,重庆大学自动化学院 2010年7月,混沌及混沌控制,1 什么是混沌 概述 1.1 发展历史 1.2 基本概念 1.2.1 虫口模型 Logistic方程 1.2.2 奇异吸引子 1.2.3 Feigenbaum 费根堡姆常数 1.2.4 李雅普洛夫指数Lyapunov Exponent与维数 1.2.5 分形 2 混沌控制的基本思想与原理 概述 2.1 OGY方法 2.1.1 数学基础 2.1.2 OGY方法 3 最新研究进展 4 评价 主要参考文献,1 什么是混沌,在大自然中存在的确定性现象和随机性现象之间，还

2、有一类可由确定性方程描述的非确定现象，即所谓混沌现象。大气的湍流，海洋的波浪，以至人类大脑中的神经网络动力学特性中，都存在着这种不具备周期性和对称性的有序状态。 混沌运动是一种貌似无规则的运动，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等多种学科领域。,一般而言，混沌是指在确定性的非线性系统中，不需要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的行为（内在随机性）。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。 所渭混沌学（Scientific Chaos）就是系统地研究非线

3、性动力学系统所具有的无规则性复杂的混沌运动。,人们在学习牛顿定律 Fma时都知道，对于给定的物体质量m和外力F下，如初始位置和初始速度已知，则物体未来的运动状态可以完全预先确定。然而，近些年来的研究表明，对某些甚至相当简单的动力学系统，要对未来的性态做出预报就不可能。从经典物理方程中察知混沌或下可预测运动存在的是著名的法国数学家、物理学家和哲学家Henri Poincare（18541912），他指出：“有这样一种情况可能发生，即初始条件上的一些微小差别可能导致最后结果的巨大差别。初始条件上的微小偏差可以引起最后结果产生巨大的偏差，从而使预报成为不可能。”,初始条件信息的损失是混沌系统的另一个

4、特性。设测量初始时间t0的位置精度x和速度精度v，则可以在位置-速度平面（即相平面）上划分出尺寸为x v的区域（图2）作为不确定的范围。当系统处于混沌状态时，这种不确定性N(t)以 形式增长。其中h与Lyapunov指数对应。,(7-1),图2 动力学系统中信息的损失或不确定性的增长,脑神经系统中的混沌,图：在灰白质中的脑神经细胞。每个细胞是由一个细胞体 (soma)、众多从细胞体延申出来的树状突 (dendrites)、及一条轴索 (axon) 组成。神经细胞的轴索，如一条延伸的长电缆，负责接收及传送神经讯息，通往其他的神经细胞。脑神经细胞，是在脑部特定的位置形成，然后迁移至灰白质内正确的位

5、置。,Minsky在1987年认为脑的功能是成千上万具有不同专门功能的子系统协作的结果，是上百万年进化中缠绕组合的结果。这就是悦，脑的高级智能活动能力来源于它的巨量复杂性，千百万年的时间复杂性交织着千百亿个神经元构成的空间复杂性。,马文明斯基（Marvin Lee Minsky，通常称为Marvin Minsky），“人工智能之父”和框架理论的创立者。其在人工智能研究方面的杰出成就而获得1969年的图灵奖。当年他才42岁。明斯基(Marvin Minsky)创立了世界上第一座专攻人工智慧的实验室。 MIT Prof. 个人主页: http:/web.media.mit.edu/minsky/,

6、脑神经系统由小而大的概念上可分为分子、突触、神经元、网络、层次、映射和系统，但是神经系统种系发生的策略在很早的时候就不再依赖于细胞以下的生物大分子层面策略的改进，而是通过细胞水平以上、由细胞间相互作用出现的自发多样性及选择稳定机制来达到对环境的适应和表达。 形成这些神经表达的动力学及其稳定性的时间尺度可以从十分之一秒到亿万年。脑神经的发展和活动对应四个时间尺度： 与物种进化同步的种系发生过程、 个体发育过程、 大脑后天的学习过程， 以及快速的突触连接变化。,思维过程有可能在混沌和有序的边界上演化。从事三十多年大脑研究的W.J.Freeman认为，控制混沌象的这种能力，可能是大脑区别于任何一种人

7、工智能机器的主要特性。,实际上，我们从大脑的日常思维活动中可以看出，脑神经系统既可以集中注意力观察和思考某些感兴趣的特殊事物，又同时可以监控着来自五官的外界环境信息，并在必要时立即转移到处理这些信息的任务上去。思维主题的选择和转移常常是人本身并不能完全计划和主宰的。 所以有人认为思维是在一有序和混沌的边界上运作。他们认为正是由于有了混沌的参与，才会使思维过程呈现出多样性、自组织临界性，以及涨落性。概括起来，可以认为，大脑是一个高度复杂的、非线性的、远离平衡的、向外开放的、具有混沌的自适应动态系统。,1.1 发展历史, 研究发端 20世纪60年代 从数学的角度看，对于确定的初始值，由动力学系统就

8、可以推知该系统长期行为甚至追溯其过去形态。但在20世纪60年代，美国麻省理工学院著名的气象学家洛伦兹（Lorenz）在研究大气时偶然发现了一个新现象：在一个确定的常微分方程组中，极小的误差就可引起灾难性的后果，即初值十分接近的两条曲线的最终结果相差可能会惊人的大。这表明确定论的系统表现出随机行为，他称之为决定论非周期流。这一论点打破了拉普拉斯决定论的经典理论，描述了以前科学家所无法解释的新现象。随后洛伦兹又首先提出了“蝴蝶效应”理论，他形象地说：“巴西境内的一只蝴蝶扇动翅膀，可能引起德克萨斯州的一场龙卷风”，即一种对初始条件的极其敏感的依赖性。后来人们认识到，当时洛伦兹提出的决定论非周期流现象

9、其实就是一种混沌现象，洛伦兹本人也因此被誉为“混沌之父”。, 20世纪70年代 发展，混沌学正式诞生 1971年，法国数学物理学家D.Ruell和荷兰数学家F.Takens一起发表了著名论文论湍流的本质，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。 1975年，美籍华人学者李大岩和美国数学家约克（J.Yorke）在美国数学月刊联合发表了著名的论文周期3意味着混沌，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程，在文中首先提出Chaos（混沌）这个新的科学名词，并为后来的学者所接受。 1976年，美国数学生态学家梅（R.May）在美国自然杂志上发表了题为具有复杂

10、动力学过程的简单数学的综述文章，以单峰映射为对象，重点讨论了Logistic方程，向人们揭示生态学中一些简单的确定数学模型也能产生倍周期分岔和混沌运动，促进了不同领域混沌研究的交流。 1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌研究在国际科学界的正式起步。1978年1979年，费根包姆（Feigenbaum）等人在梅的基础上独立地发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，从而把混沌研究从定性分析推进到定量计算阶段，成为混沌研究的一个重要的里程碑。, 20世纪80年代，研究走向深入 人们着重研究系统如何从有序进入混沌，以及混沌的性质和特点。 除此之外，借助于（单）多标度分形理论和符号动

11、力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。 法国数学家曼德布罗特（Mandel brot）于1980年用计算机绘出了世界上第一张Mandelbrot集的混沌图像。 20世纪80年代初，Takens等人根据拓扑嵌入定理提出重构动力学轨道相空间的延迟法。 Grassberger和Procaccia首次运用这种相空间重构方法，从实验数据时间序列计算出实验系统的奇怪吸引子的统计特征，如分数维、Lyapunov指数和熵等混沌特征量，从而使得混沌理论研究进入实际应用阶段。, 20世纪90年代以来 应用 混沌学与其他学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电于学、信息科

12、学，还是天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。,天文学方面：认清了火星、木星间小行星带的Kirkwood间隙起源问题，这些间隙相应于小行星混沌的运行轨道。Laskar给出了行星内部的混沌运动图像，推翻了太阳系稳定的观点。太阳系中地球混沌的特征时间大约是5百万年。 气象学：Massachusetts理工学院的Edward Lorenz 1963年混沌行为的实验证明使今天的气象学家承认大气的混沌使超过三两周到未来的精确的天气预报成为不可能。但是一些人希望混沌模型最终可使它有可能预报长期的天气趋势。 生理学：Berkeley的California的Walter Fr

13、eeman说脑子利用混沌作为等待状态，他说：人类脑电图（EFG）的研究表明，当一位受试者在接受或处理信息时，脑电波图会变得有序，其余的脑研究者正在通过分析混沌的脑电图的图形寻找预报癫痫发作的方法。 国际政治学：Wayne州立大学为敌对的两个国家之间的军备竞赛编制了一个模型，一个两国都有反导弹防御系统模型实验表明，局势是混沌和不稳定的，最终将导致战争。 运输：混沌理论最现实应用的奖赏应归于美国一交通工程师小组，他们在1988年华盛顿会议期间把混沌与错综复杂的交通图形联系了起来，下次你被停停走走堵塞在高峰超速公路上，那你就把责任推给混沌。,混沌学的一些应用进展：,艺术 科学对艺术来说通常没有多大关

14、系，但关于混沌，则却有着某种内在的吸引人的特质。 美国Kaos公司在95年主办了混沌芝加哥艺术节。艺术家和建筑师的反响是热烈的，他们说混沌理论把意义和内容带回到了装饰艺术中。混沌将有序无序巧妙地结合了起来。95年纽约当代艺术博物馆在纽约芝加哥举办的“奇怪吸引子：混沌的奇观”轰动美国。,1.2 基本概念,1.2.1 虫口模型 Logistic方程,虫口模型有时又称为Logistic映射方程，它是研究昆虫类生物种群繁殖性态的非线性差分迭代方程。一般来说，昆虫种群总数在相邻两年间具有函数关系： x第二年=f ( x第一年) 通过不断地迭代，就可以知道种群在若干年后的长期变化趋势。 最简单的函数模型就

15、是线性函数 yax，如a1，则由迭代方程应xn+1=axn， n=1，2，可知种群数将无限增长。当a=1时，种群数始终保持常数。当a1时，将导致种群灭绝。显然这种线性函数的三种结局都不符合实际情况。,因此在建立数学模型时需引入合理的限制条件或参数，才能使迭代结果较符合昆虫繁衍后代的实际规律。比较常用的方法是假定种群数由于食物和竞争等原因而有某一限定值。为简单起见，取此限定值为归一化值1，如果种群数不小于1，则由于有较好的生存繁殖条件，使种群数不断增加。当种群数x大于1，则种群数由于食物不足和过于拥挤而逐惭减少。于是，虫口方程可以表示为：,xn+1=axn(1-xn) 0xn1,我们将看到，当a

16、取不同的数值时，xn演变的规律将迥然不同。,0a1 此时xn从n=0的x0开始，逐步经x1，x2，单调地收敛于0点。,xn+1=axn(1-xn) 0xn1,0a1时 xn的迭代过程（a）及变化规律（b）,(2) 1a2 此时xn单调地增大至稳定点1-(1/a)。,xn+1=axn(1-xn) 0xn1,1a2时 xn的迭代过程（a）及变化规律（b）,(3) 2a3 此时交点1-(1/a)的值大于1/2，xn围绕1-(1/a)附近振动，最后衰减至1-(1/a)。,xn+1=axn(1-xn) 0xn1,2a3时 xn的迭代过程（a）及变化规律（b）,(4) 3a1+ 3.45 例如，当a=3.2，此时1-(1/a)= 0.6875并不是最后要收敛到的稳定点。任取的初始值x0的轨道将反复地只取两个值0.5130和0.7995，形成周期为2的循环。,xn+1=axn(1-xn) 0xn1,