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1、微积分中函数的 单调性与凹凸性之间 相互约束关系浅析,091082班 张骥,关于单调性与凹凸性 对于函数 f（x）,一阶导数F(x)=0 斜率为0 二阶导数F(x)=0 斜率变化为0f (x)0 f(x) 增 f (x)0 f(x) 减 f (x)0 f(x) 凹 f (x)0 f(x) 凸,启发（书本一道作业）,f（x）= y =x3次方x2次方x+1,f (x)=0f （x）=0 求出三个驻点可以画出图像。,分析,凸增凸减,凸减凹减,凹减凹增,猜想,对于连续可导函数，函数每通过一个驻点，其图像的单调性和凹凸性有且仅有一个发生变化。这个猜想揭示了函数一阶导数与二阶导数之间的连续变化中，相互制
2、约的关系。 即当我们知道了函数通过一个驻点，则可以由其中一个性质推导出另一个性质，因为他们之间必定相互制约。,推导证明,单调性（增或减）与凹凸性（凹或凸）相互组合会出现四种情况：凹增 凹减 凸增 凸减下面就以函数通过驻点后，由凹减推出的结论，由猜想可知，函数通过驻点后，单调性与凹凸性有且仅有一个发生变化，那么函数只能是凹增和凸减两种情况。,在驻点左边，函数是凹减的， 即f （x）0 f (x)0,一阶导数F(x)=0 斜率为0 二阶导数F(x)=0 斜率变化为0f (x)0 f (x) 增 f (x)0 f (x) 减 f (x)0 f (x) 凹 f (x)0 f (x) 凸,推广,1.条件
3、推广 寻找适用于更广泛条件的相同结论，即试寻找不满足连续可导的函数是否也有单调性与凹凸性相互制约的关系。,2.结论推广 单调性反映一阶导数，凹凸性反映二阶导数，由猜想可知，一阶导数与二阶导数之间有这种约束关系，那么二阶与三阶之间呢，三阶与四阶呢？是不是相邻连续导数之间都有这种关系。,3.应用推广 对于其它学科，例如物理学中，求导的地方很多，那里符合相同的结论吗？,意义及预期,这个命题是来自教科书中的，并不是当前那些热门的数学问题。但是这却是微积分中最基础的部分引导出来的，所以，它的意义在于，把目前认为是相互独立的函数单调性和凹凸性这两个最重要反映函数变化的性质联系起来，并且形成相互制约关系，从根本上揭示函数变化的原因。 最终得到一条或一系列的命题，通过讲述函数的单调性与凹凸性之间相互约束关系，并且尽量找到推广的结果，从根本上揭示函数变化的原因，达到一个普遍性的高度。,谢谢各位老师同学指教！,
