系统模型与建模的基本方法

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1、系统模型与建模的基本方法,计算机仿真第二章,2 系统模型与建模的基本方法,2.1 相似原理 2.2 建模方法学 2.3 连续时间系统的数学模型 2.4 离散时间系统的数学模型 2.5 系统建模举例 2.6 连续系统的离散化,2.系统模型与建模的基本方法,2.1 相似原理,2.1.1 相似的概念 2.1.2 相似的方式 2.1.3 相似方法,2.系统模型与建模的基本方法,2.1.1 相似的概念,a. 相似的概念几何相似如：三角形相似，三维形体相似等现象相似几何相似的展拓，系统之间相应物理量之间存在固定的比例关系相似性原理按某种相似方式对事物进行分类，对集合中的某一具体事物进行研究，并将得到的规律

2、推广到集合中的其它事物。,2.系统模型与建模的基本方法,2.1.1 相似的概念,b. 相似的性质 自反性：S S 对称性：S1 S2，则 S2 S1 传递性：S1 S2，且 S2 S3，则S1 S3 相似的系统具有相同的数学表述 表征相似系统的对应量在四维空间上相互匹配且成比例关系 对应量的比值彼此相互约束,2.系统模型与建模的基本方法,2.1.1 相似的概念,c. 相似的分类 绝对相似两个系统的全部几何尺寸和其它相应参数在时空域上所产生的全部变化（过程）都是相似的。 完全相似两个系统在某一相应方面的过程在时空域上相似。 不完全/局部相似仅保证研究部分的系统相似。 近似相似在某些简化假设下的现

3、象相似称为近似相似。,2.系统模型与建模的基本方法,2.1.2 相似的方式,几何相似 模拟 数学相似 感觉信息相似 逻辑思维相似 生理相似,2.系统模型与建模的基本方法,2.1.2 相似的方式,2.系统模型与建模的基本方法,E(t),R,C,L,K,D,M,F(t),返回,数学相似举例,2.1.3 相似方法,模式相似方法 模拟相似方法 组合相似方法 坐标变换相似方法,2.系统模型与建模的基本方法,2.2 建模方法学,2.2.1 数学模型的作用 2.2.2 数学模型的形式化表达 2.2.3 模型的有效性和建模的形式化 2.2.4 数学建模的方法,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.1 数学模型

4、的作用,a. 提高认识能力 通信、思考、理解b. 提高决策能力 管理、控制、设计,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.2 数学模型的形式化表达,a. 系统的七元组集合结构表达S = 时间集 T时间集是描述时间的一个集合T。若T与实数R同构，系统为连续时间系统。若T与整数I同构，系统为离散时间系统。,2.系统模型与建模的基本方法,0,0,2.2.2 数学模型的形式化表达,时间集T的性质 线性排序对于任意一对时刻t0 、t1 。必存在以下关系之一t0 t1 t0 t1 t0 = t1 交换性对于任意一对时刻t0 、t1 ,有t0 +t1 = t1 +t0 = t2 ( t0 +t1 ) +t2

5、= t0 + ( t1 +t2 )t0 +0 = t0 t0 +(-t0) = 0 无界扩展性不存在上界tu，使得所有的tT 有 ttu ，同样也不存在下界 加法保序性 t t1 = t +t2 t1 +t2,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.2 数学模型的形式化表达,输入集 X 系统界面的一部分，系统环境通过它作用于系统一般选取X为Rn，其中n I+ 输入段集 某时间间隔内系统的输入模式。 w: (t0 ,t1 )X 所有的输入段集构成集合称为(X, T)是（X, T）的一个子集,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.2 数学模型的形式化表达,内部状态集 Q 系统的记忆，影响现在与将来的

6、响应 线性系统的状态方程.X = AX + BUY = CX + DU 状态转移函数 是这样一个映射 ：Q Q 意义：系统在t0时处于状态q，施加一个输入段w: (t0 ,t1 )X ，则(q,w)为t1时刻的系统状态,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.2 数学模型的形式化表达,输出集 Y 集合Y代表界面的一部分，系统通过Y作用于环境 系统的输入（输出）是环境的输出（输入） 输出函数 ：Q Y ：Q X T Y,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.3 模型的有效性和建模的形式化,a. 模型的有效性与系统描述 模型有效性：实际数据与模型产生数据的符合程度复制有效、预测有效、结构有效 系统描

7、述：行为水平、状态结构水平、分解结构水平 b. 行为水平 输入/输出关系,2.系统模型与建模的基本方法,Rs=w,W(t),(t),行为水平的系统,2.2.3 模型的有效性和建模的形式化,c. 状态结构水平 系统内部状态,2.系统模型与建模的基本方法,W(t),(t),状态结构水平的系统,S(t),2.2.3 模型的有效性和建模的形式化,d. 分解结构水平 系统内部结构,2.系统模型与建模的基本方法,W(t),(t),分解结构水平的系统,S3(t),3,3,S1(t),1,1,S2(t),2,2,W1(t),W2(t),2(t),3(t),1(t),W3(t),2.2.3 模型的有效性和建模的

8、形式化,e. 系统描述之间的关系 行为水平的相似关系系统行为等价系统准行为等价 结构水平的相似关系系统同态系统同构 行为水平相似与结构水平相似的关系,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.4 数学建模方法,a. 建模过程中的信息源 建模目的 先验知识 实验数据,2.系统模型与建模的基本方法,先验知识,实验数据,建模目标,系统建模,模型应用,目标达到？,b . 建模的方法与途径 建模方法 演绎法：通过定理、定义、公理及已经验证了的理论推演得出数学模型。 归纳法：通过大量的实验数据分析、总结，归纳出系统的数学模型。 混合法：演绎法与归纳法的结合。工程实践中通常采用的方法，演绎法确定结构，归纳法确定

9、参数。,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.4 数学建模方法,建模途径 对于了解内部结构和特性清楚的系统（白盒系统），可以利用已知的一些基本定律，通过分析和演绎导出系统模型； 对于内部结构和特性不清楚或不是很清楚的系统（黑盒/灰盒系统），如允许进行实验性观测，可假设模型并通过实验对假设的模型加以验证和修正； 对于不允许直接进行实验观测的系统，可采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.4 数学建模方法,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.4 数学建模方法,先验知识,实验数据,模型构建,建模目标,归纳程序,演 绎 分 析,目 标 协 调,可信度分析,最终

10、模型,c . 模型可信性 按可信程度水平 行为水平上的可信性 状态结构水平上的可信性 分解结构水平上的可信性 按建模阶段 在演绎中的可信性 在归纳中的可信性 在目的方面的可信性,2.系统模型与建模的基本方法,2.2.4 数学建模方法,2.3 连续时间系统的数学模型,2.3.1 微分方程 2.3.2 传递函数 2.3.3 状态方程 2.3.4 结构图 2.3.5 连续系统数学模型间的转换,2.系统模型与建模的基本方法,2.3.1 微分方程,设系统的输入为u(t)，系统的输出为y(t),2.系统模型与建模的基本方法,其中ai(i=0,1,n-1), bj(j=0,1,m-1),为常系数。 若引入微

11、分算子 p =d /dt，则上式可写成,系统的微分方程,即,(2.1),(2.2),(2.3),2.3.1 微分方程,2.系统模型与建模的基本方法,系统微分方程的建立 根据物理规律列写原始的微分方程 对原始微分方程加以整理将其变换成高阶微分方程,2.3.1 微分方程,例2-1 建立如图RLC电路系统的微分方程模型，u(t)为输入量，uc (t)为输出量,2.系统模型与建模的基本方法,U(t),R,C,L,Uc(t),i(t),整理,一阶微分方程组,高阶微分方程,2.3.2 传递函数,设系统为零初始条件，对2.1式两边取拉普拉斯变换,2.系统模型与建模的基本方法,传递函数,整理得系统传递函数如下

12、,(2.4),(2.5),系统的传递函数是在线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比,2.3.2 传递函数,例2-2 求例2-1中RLC 电路的传递函数解：,2.系统模型与建模的基本方法,两边取拉氏变换,求得传递函数,2.3.2 传递函数,b. 传递函数的性质传递函数仅用于线性、定常和集中参数系统传递函数是复变量s的有理真分式传递函数是描述系统动态特性的一种数学表达，与系统的微分方程一一对应。当微分方程确定后，传递函数唯一确定。传递函数只与系统结构和参数有关，而与系统的输入、输出信号的形式无关。传递函数不能反映系统物理性能上的差异。传递函数是系统单位脉冲响应的

13、拉氏变换,2.系统模型与建模的基本方法,c. 典型环节的传递函数比例环节 K为比例系数惯性环节T为时间常数积分环节T为时间常数微分环节T为时间常数延迟环节G0(s)为有理传函， T为时延的大小,2.3.2 传递函数,2.系统模型与建模的基本方法,2.3.2 传递函数,. 例2-3 系统微分方程为 y(t)+ay(t) = u(t-T)，其中T为滞后时间，求其传递函数解：两边取拉氏变换,2.系统模型与建模的基本方法,求得传递函数,2.3.3 状态方程,状态变量: 能够完全刻画系统行为的最小的一组变量。用于研究系统状态的改变标准形式的状态方程,2.系统模型与建模的基本方法,状态方程,(2.6),其

14、中：X=x1(t) x2(t) xn(t) T 为n维状态向量U=u1(t) u2(t) um(t) T 为m维输入向量Y=y1(t) y2(t) yr(t) T 为r维输出向量A为nn维参数矩阵 B为nm维输入矩阵C为rn维输出矩阵 D为rm维交联矩阵,2.3.3 状态方程,根据物理规律列写原始微分方程选择状态变量，并建立这些变量的一阶微分方程组根据微分方程组写出标准的状态方程，并据所选的输出量写出相应的输出方程,2.系统模型与建模的基本方法,建立状态方程,2.3.3 状态方程,例2-4 为例2-1中RLC 电路系统的建立状态方程解：选择i(t)和uc(t)作为状态变量，将根据原始微分方程组

15、可得,2.系统模型与建模的基本方法,输出为 y(t) = uc(t) 令,可将上式写成标准形式的状态方程,2.3.4 结构图,描述系统的一种图形形式，是系统中每个元件或环节的功能和信号流向的图解表示具有形象直观的特点利用结构图的等效变换和简化规则，有助于根据各环节模型求出系统模型,2.系统模型与建模的基本方法,G(s),R(s),典型反馈控制系统的结构图,H(s),Y(s),-,2.3.4 结构图,整理得,2.系统模型与建模的基本方法,系统传递函数为,由结构图得,(2.7),2.3.4 结构图,例2-5 用结构图的方法求例2-1中RLC 电路系统的传递函数解：原始微分方程为,2.系统模型与建模的基本方法,取拉氏变换，整理得,得结构图如下,Ls+R,U(s),