《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.1含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.1含答案(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.4 抛物线抛物线2.4.1 抛物线的标准方程抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中 p 的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点 抛物线的标准方程思考 抛物线的标准方程有何特点?答案 (1)对称轴为坐标轴;(2)p 为大于 0 的常数,其几何意义表示焦点到准线的距离;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称;(4)焦点、准线到原点的距离都等于 .p2梳理 由于抛物线焦点位置不同,方程也就不同,故抛物线的标准方程有以下几种形式:y22px(p0),y22px(p0),x22py(p0),x22p
2、y(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下:图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(p2,0)xp2y22px(p0)(p2,0)xp2x22py(p0)(0,p2)yp2苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2x22py(p0)(0,p2)yp21抛物线的方程都是 y 关于 x 的二次函数()2方程 x22py(p0)表示开口向上的抛物线()3抛物线的焦点到准线的距离为 p.()4抛物线的开口方向由一次项确定()类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例 1 已知抛物线的方程 yax2(a0),求它的焦点坐标和准线方程解 将抛物线方程化为标准方
3、程 x2 y(a0),1a则抛物线焦点在 y 轴上,(1)当 a0 时,p,12a焦点坐标 F,(0,14a)准线方程 y.14a(2)当 a0 时,p,12a焦点坐标 F,(0,14a)准线方程 y,14a综合(1)(2)知抛物线 yax2(a0)的焦点坐标是 F,准线方程是 y.(0,14a)14a反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时,应首先把方程化为标准形式,再分清抛物线是四种中的哪一种,然后写出焦点及准线方程跟踪训练 1 (1)若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0),则 p_;准线方程为_苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3答案 2 x1解析 因为抛物线的焦点
4、坐标为(1,0),所以 1,p2,准线方程为 x 1.p2p2(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程y240x;4x2y;3y25x;6y211x0.解 焦点坐标为(10,0),准线方程为 x10.由 4x2y 得 x2 y.142p ,p .1418焦点坐标为,准线方程为 y.(0,116)116由 3y25x,得 y2 x.2p ,p .535356焦点坐标为,准线方程为 x.(512,0)512由 6y211x0,得 y2x,116故焦点坐标为,准线方程为 x.(1124,0)1124类型二 求解抛物线的标准方程例 2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x
5、29y2144 的左顶点;(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y3 与抛物线交于点 A,AF5.解 (1)双曲线方程可化为1,x29y216左顶点为(3,0),由题意设抛物线方程为 y22px(p0)且3,p2p6,抛物线的方程为 y212x.(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0),A(m,3),由抛物线定义得5AF.|mp2|又(3)22pm,p1 或 p9,故所求抛物线方程为 y22x 或 y218x.苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法:建立适当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化
6、简,根据定义求出 p,最后写出标准方程(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定 p 的值跟踪训练 2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程解 设抛物线方程为 y22px(p0),则焦点 F,由题意,(p2,0)得Error!解得Error!或Error!故所求的抛物线方程为 y28x,m2.6抛物线的焦点坐标为(2,0),准线方程为 x2.类型三 抛物线在实际生活中的应用例 3 河上有一抛物线形
7、拱桥,当水面距拱桥顶 5m 时,水面宽为 8m,一小船宽 4m,高2m,载货后船露出水面上的部分高 m,问:水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时,34小船开始不能通航?解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0),由题意可知,点 B(4,5)在抛物线上,故 p ,85得 x2y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA,则165A(2,yA),由 22yA,得 yA .又知船面露出水面上的部分高为 m,所以1655434h|yA| 2(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2m 时,小船开始不能
8、通航34反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义5跟踪训练 3 喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处,喷出水流的最高点 B 高 5m,且与OA 所在的直线相距 4m,水流落在以 O 为圆心,半径为 9m 的圆上,则管柱 OA 的长是多少?苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6解 如图所示,以点 B 为坐标原点,过点 B 与地面平行的直线为 x 轴,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为 x22py(p0),因为点 C(5,5)在抛物线上,所以 252p(5),因此 2p5,所以抛物线
9、的方程为x25y,点 A(4,y0)在抛物线上,所以 165y0,即 y0,所以 OA 的长为 51.8(m)165165所以管柱 OA 的长为 1.8m.1已知抛物线的准线方程为 x7,则抛物线的标准方程为_答案 y228x解析 可设抛物线方程为 y22px(p0),由准线方程为 x7 知, 7,即 p14.故抛物p2线的标准方程为 y228x.2已知点(2,3)与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离是 5,则 p 的值为_答案 4解析 焦点的坐标为,由两点间的距离公式得5p4.(p2,0)(2p2)2323若抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p_.答
10、案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离,所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离,即 1,p2.p24若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点,则 p_.答案 22解析 抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x ,p2因为抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点 F1(,0),2所以 ,解得 p2.p222苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义75已知 M 为抛物线 y24x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点 N(2,3),则 MNMF 的最小值为_答案 10解析 将 x2 代入抛物线方程,得 y2.
11、232,点 N 在抛物线的外部2MNMFNF,而 F(1,0),则 NF,2123210MNMF,当 N,M,F 三点共线时有最小值,最小值为.10101焦点在 x 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 y2mx(m0),此时焦点为 F,(m4,0)准线方程为 x ;焦点在 y 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 x2my(m0),此时m4焦点为 F,准线方程为 y .(0,m4)m42设 M 是抛物线上一点,焦点为 F,则线段 MF 叫做抛物线的焦半径若 M(x0,y0)在抛物线 y22px(p0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化,所以焦半径 MFx0
12、 .p2一、填空题1抛物线 y x2的准线方程是_14答案 y1解析 由 y x2,得 x24y,则抛物线的焦点在 y 轴正半轴上,且 2p4,即 p2,因此14准线方程为 yp21.2以坐标原点为顶点,(1,0)为焦点的抛物线的方程为_答案 y24x苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8解析 由题意可设抛物线的方程为 y22px(p0),则有 1,得 p2,p2所以抛物线的方程为 y24x.3经过点 P(4,2)的抛物线的标准方程为_答案 y2x 或 x28y解析 设所求抛物线的标准方程为 y22mx(m0)或 x22ny(n0),代入点 P(4,2),解得 m 或 n4,12所以所求抛
13、物线的标准方程为 y2x 或 x28y.4以双曲线1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_x216y29答案 y216x解析 双曲线的方程为1,x216y29右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为 y22px(p0),则 4,即 p8,p2抛物线的标准方程为 y216x.5已知抛物线 C1:y2x2与抛物线 C2关于直线 yx 对称,则 C2的准线方程是_答案 x18解析 y2x2关于 yx 对称的曲线为抛物线 y2 x,其准线方程为 x .12186已知一个圆的圆心 C 在抛物线 y24x 上,并且与 x 轴、抛物线的准线都相切,则此圆的半径为_答案 2解析 设圆心 C(x0,y0),则 y
14、 4x0,2 0依题意得,半径 r|y0|x01|,由得 x01,故圆的半径 r2.7顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是_苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义9答案 x212y解析 因为顶点与焦点距离等于 3,2p12,又对称轴是 y 轴,抛物线的方程为 x212y.8抛物线方程为 7x4y20,则焦点坐标为_答案 (716,0)解析 方程化为 y2 x,抛物线开口向左,2p , ,故焦点坐标为.7474p2716(716,0)9设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为_答案 3 24解析 如图所示,由已知,得点 B 的纵坐标为 1,横坐标为 ,即 B.将其代入p4(p4,1)y22px,得 12p ,解得 p,故点 B 到准线的距离为 p.p42p2p4343 2410设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y24x 的焦点,A 为抛物线上一点,若4,OAAF则点 A 的坐标为_答案 (1,2)或(1,2)解析 设 A(x0,y0),F(1,0),(x0,y0),OA(1x0,y0),x0(1x0)y 4.AFOAAF2