《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程疑难规律方法含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程疑难规律方法含答案（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义11 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明1求最值例 1 线段 AB4，PAPB6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是_解析 由于 PAPB64AB，故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点，A，B 为焦点的椭圆，且 a3，c2，b.于是 PM 的长度的最小值是 b.a2c255答案 52求动点坐标例 2 椭圆1 上到两个焦点 F1，F2的距离之积最大的点的坐标是_x29y225解析 设椭圆上的
2、动点为 P，由椭圆的定义可知PF1PF22a10，所以 PF1PF22225，(PF1PF22)(102)当且仅当 PF1PF2时取等号由Error!解得 PF1PF25a，此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(3,0)答案 (3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF1PF210” ，即两个正数 PF1，PF2的和为定值，结合基本不等式可求 PF1，PF2乘积的最大值，结合图形可得所求点 P 的坐标苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义23求焦点三角形面积例 3 如图所示，已知椭圆的方程为1，若点 P 在第二象限，且PF1F2120，x24y23求PF1F2的面积解 由已知，得
3、a2，b，3所以 c1，F1F22c2.a2b2在PF1F2中，由余弦定理，得PF PF F1F 2PF1F1F2cos120，2 22 12 2即 PF PF 42PF1，2 22 1由椭圆定义，得 PF1PF24，即 PF24PF1.将代入，得 PF1 .65所以 SPF1F2 PF1F1F2sin12012 2，1265323 35即PF1F2的面积是.3 35点评 在PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于 PF1，PF2的方程组，消去 PF2可求 PF1.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解2 如何求椭圆的离心率1由椭圆的定
4、义求离心率例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 4 个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3解析 如图所示，设椭圆的方程为1(ab0)，焦距为 2c，由题意知F1AF290，x2a2y2b2AF2F160.AF2c，AF12csin60c.3AF1AF22a(1)c.3e 1.ca2313答案 13点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决2解方程(组)求离心率例 2 椭圆1(ab0)的左焦点为 F1(c,0)，A(a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果x
5、2a2y2b2F1到直线 AB 的距离为，则椭圆的离心率 e_.b7解析 如图所示，直线 AB 的方程为 1，xayb即 bxayab0.点 F1(c,0)到直线 AB 的距离为，b7b7|bcab|a2b2|ac|，即 7a214ac7c2a2b2.7a2b2又b2a2c2，整理，得 5a214ac8c20.两边同除以 a2并由 e 知，8e214e50，ca解得 e 或 e (舍去)1254苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4答案 123利用数形结合求离心率例 3 在平面直角坐标系中，已知椭圆1(ab0)，圆 O 的半径为 a，过点 Px2a2y2b2作圆 O 的两条切线，且这两条切
6、线互相垂直，则离心率 e_.(a2c，0)解析 如图所示，切线 PA，PB 互相垂直，PAPB.又 OAPA，OBPB，OAOB，则四边形 OAPB 是正方形，故 OPOA，2即a，e .a2c2ca22答案 224综合类例 4 设 M 为椭圆1 上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果MF1F275，x2a2y2b2MF2F115，求椭圆的离心率解 由正弦定理得2csin90MF1sin15MF2sin75，MF1MF2sin15sin752asin15sin75e .ca1sin15cos1512sin6063点评 此题可推广为若MF1F2，MF2F1，则椭圆的离心率 e.cos 2co
7、s 2苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义53 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用下面举例说明1求动点轨迹例 1 动圆 C 与两定圆 C1：x2(y5)21 和圆 C2：x2(y5)216 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程解 设动圆圆心为 C(x，y)，半径为 r，因为动圆 C 与两定圆相外切，所以Error!即 CC2CC130，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支x2a2y2b2上，且 PF14PF2，试求该双曲线离心率的取值范围解 因为 PF14PF2，点 P
8、在双曲线的右支上，所以设 PF2m，则 PF14m，由双曲线的定义，得 PF1PF24mm2a，所以 m a.23又 PF1PF2F1F2，即 4mm2c，所以 m c，即 a c，所以 e .252325ca53又 e1，所以双曲线离心率的取值范围为.(1，53点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义7基本量 a，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解4 抛物线的焦点弦例 1 如图所示，AB 是抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的一条弦设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB 的中点 M(x0，y0)，
9、过 A，M，B 分别向抛物线的准线 l 作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则有以下重要结论：(1)以 AB 为直径的圆必与准线相切；(2)AB2(焦点弦长与中点坐标的关系)；(x0p2)(3)ABxAxBp；(4)A，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即 xAxB，yAyBp2；p24(5)A1FB1F；(6)A，O，B1三点共线；(7) .1FA1FB2p以下以第(7)条结论为例证明：证明 当直线 AB 的斜率不存在，即与 x 轴垂直时，FAFBp， .1FA1FB1p1p2p当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为yk，并代入 y22px，(xp2)22px，(kxkp2
10、)即 k2x2p(2k2)x0.k2p24由 A(xA，yA)，B(xB，yB)，苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8则 xAxB，xAxB.pk22k2p24FAxA ，FBxB ，p2p2FAFBxAxBp，FAFB(xAp2)(xBp2)xAxB (xAxB) (xAxBp)p2p24p2FAFBFAFB ，即 .2p1FA1FB2p点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视 ABx 轴的情况例 2 设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若0，则FAFBFC|_.FAFBFC解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3
11、，y3)，又 F(1,0)由0 知(x11)(x21)(x31)0，FAFBFC即 x1x2x33，|x1x2x3 p6.FAFBFC32答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题下面对其求法进行探究1定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法例 1 如图，点 A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点，动点 M 在圆周上，将纸片折起，使点 M
12、 与点 A 重合，设折痕 m 交线段 CM 于点 N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系 xOy 中，设圆 C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1,0)，记点 N 的轨迹为曲线 E.苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义9(1)证明曲线 E 是椭圆，并写出当 a2 时该椭圆的标准方程；(2)设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B，点 A 关于直线 l 的对称点为点 Q，若椭圆 E 的离心率 e，求点 Q 的纵坐标的取值范围12，32解 (1)依题意，直线 m 为线段 AM 的垂直平分线，NANM.NCNANCNMCM2a2AC，N 的轨迹是以 C，A 为焦点，长轴长为 2a，焦距为
13、2 的椭圆当 a2 时，长轴长为 2a4，焦距为 2c2，b2a2c23.椭圆的标准方程为1.x24y23(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)x2a2y2b2由(1)知 a2b21.又 C(1,0)，B(0，b)，直线 l 的方程为 1，即 bxyb0.x1yb设 Q(x，y)，点 Q 与点 A(1,0)关于直线 l 对称，Error! 消去 x 得 y.4bb21离心率 e， e2 ，12，321434即 ， a24.141a23443 b214，即b，43333苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义10y2，当且仅当 b1 时取等号4bb214b1b又当 b时，y；当 b时，y.y2.3
14、33333点 Q 的纵坐标的取值范围是，232直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法例 2 已知直线 l1：2x3y20，l2：3x2y30.有一动圆 M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且 l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26,24.求圆心 M 的轨迹方程解 如图，设 M(x，y)，圆半径为 r，M 到 l1，l2的距离分别是 d1，d2，则 d 132r2，d 122r2，2 12 2d d 25，2 22 1即2225，(|3x2y3|13)(|2x3y2|13)化简得圆心 M 的轨迹方程是(x1)2y265.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标 x，y 的方程即可3待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解例 3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cosOFA ，求椭圆的方程23解 椭圆的长轴长为 6，cosOFA ，23所以点 A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，苏
