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1、例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球.,设第 i 次,求,取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .,解,1.6事件的独立性,1.6独立性,事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立,定义,设 A , B 为两事件，若,则称事件 A 与事件 B 相互独立,两事件相互独立的性质,两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的,若,若,若,则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和“事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立 (自行证明),四对事件,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立,试证其一,事实上,三事件 A, B,
2、 C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：,注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,(2),定义,例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下,将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。,设事件,例2,则,但,本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1),例3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数B 表示2号骰子向上一面出现奇数C 表示两骰子出现的点数之和为奇数,则,但,例3,n 个事件 A1, A2, , An 相互独立是指下面的关系式同时成立,定义,例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证
3、明事件,证,例4,若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能同时属于两个不同的组,则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的 k 个事件也相互独立.,命题,利用独立事件的性质 计算其并事件的概率,若 A1, A2, , An 相互独立, 则,当 ，则,特别，,例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,100,则,例5,若Bn 表示 n 个人的血
4、清混合液中含有肝 炎病毒，则, 不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要发生,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,例6,设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.,S1:,S2:,注 利用导数可证, 当 时, 恒有,公,Bayes,式,在医学上的应用,应用,应用举例 肠癌普查,设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B,表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：,某患者首次检查反应为阳性, 试判断该,患者是否已患肠癌
5、？ 若三次检查反应均为,阳性呢？,由Bayes 公式得,首次检查反应为阳性 患肠癌的概率并不大,接连两次检查为阳性 患肠癌的可能性过半,两次检查反应均为阳性,还不能断,定患者已患肠癌.,连续三次检查为阳性,几乎可断定已患肠癌,习题,1. 某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架 敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率 击中它，则需配备此型号火炮多少门？,补充作业,2. 设,则正确结论是( ).,不相容;,且,相互独立;,不相互独立.,相互对立;,补充作业解答,1. 设需配备 n 门此型号火炮 设事件 表示第 i 门火炮击中敌机,故需配备 5 门此型号火炮 .,2. 选C.,事实上可以证明,
6、若,则,相互独立,证,相互独立,若,若,则,独立.,n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为,且,伯努利试验,例7 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.,解 古典概型,设 B 表示4个球中恰有2个白球,例7,解二 每取一个球看作是做了一次试验,记取得白球为事件 A ，,有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai,感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率,一般地，若,则,例8 八门炮同时独立地向一目标各射击一 发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目 标就被击毁.如果每门炮命
7、中目标的概率为0.6, 求目标被击毁的概率.,解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=28,标被击毁为事件B,各炮命中概率 p = 0.6, 则,例8,设目,某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁 判组, 甲组3名,乙组1名. 但组委会只召集 到3名裁判, 由于临近比赛, 便决定调一名 不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独 立地以概率 p 作出正确裁定,而第三人以 掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定. 乙组由 1 个人组成, 他以概率 p 做出正确 裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大 ?,每周一题3,问 题,第 3 周,伯努利 Jacob Bernoulli1654-1705瑞士数学家,
8、概率论的奠基人,伯努利,此外对对数螺线深有研究, 发现 对数螺线经过各种变换后, 结果还是 对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余, 遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上, 并附以颂词:,纵使变化,依然故我,1695年提出著名的伯努利方程,1713年出版的巨著推测术,是 组合数学及概率史的一件大事.书中给 出的伯努利数、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式.,解 设取出的5个数按由小到大排列为,杂例 从 1,2, ,10 十个数字中有放回地任取5个数字, 求取出的5个数字按由小到大排列, 中间的那个数等于 4 的概率.,附录,附 录,令 Ak 表示所取5个数字中恰有k 个不大于4,则,1,1,2,3,3;,1,1,2,3,4;,所取5个数字中至少有3个数字不大于4,由于,
