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1、金融工程与风险管理,第2章 投资学基础 ,11:25:33,2,2.1 马科维茨风险资产组合模型,基本假设（1）均方准则：投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者理性：投资者是不知足的和风险厌恶的。（3）瞬时投资：投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）有效组合：在资金约束下，投资者希望持有具有最高的均方标准的组合。,组合均值与方差,对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为,11:25:33,4,均方准则与有效集,可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即在资金约束下，可
2、构造出的所有组合的期望收益和风险（方差或标准差）。 均方准则：在可行集中，有些投资组合会明显地优于另一些投资组合，其特点：给定风险，预期收益率最大或者给定收益风险（标准差）最小。满足这两个条件的资产组合，即为有效组合。 由所有有效组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。 投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。,11:25:33,5,两种风险资产构成的可行集,若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，随着投资权重w的变化，就构成了可行集。,11:25:33,6,11:25:33,7,两种完全正相关资产的可行集,命题：完全正相关的两种资产构成
3、的可行集是一条直线。 证明：,11:25:33,8,若不允许卖空（ W0 ），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线段，即为完全正相关的两种风险资产可行集。,11:25:33,9,两种完全负相关资产的可行集,两种资产完全负相关，即12 =-1，则有,11:25:33,10,命题：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：,11:25:33,11,11:25:33,12,两种不完全相关的风险资产的组合的可行集,11:25:33,13,在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集（W0）,11:25:33,14,3种风险资产的组合二维表示,一般地，当资产数量增加时，
4、要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。,11:25:33,15,类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。,n种风险资产的组合二维表示,11:25:33,16,不可能的可行集,A,B,可行区域是向左侧凸出的！因为任意两个资产构成的投资组合都位于两个资产连线的左侧。,11:25:33,17,2.1.1 马科维茨模型（n项风险资产组合有效前沿）,假定1：市场上存在 种风险资产，令,代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：,且卖空不受限制，即允许,2. 也是一个n维列向量，它表示每一种资产
5、的期望收益率，则组合的期望收益,11:25:33,18,3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有,注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量a，都有 ，则,11:25:33,19,其中， 是所有元素为1的n维列向量。由此构造拉格朗日函数,11:25:33,20,注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件,其中， 0=0,0,0,（1）,（2）,（3）,11:25:33,21,（4）,由（1）得到,把（4）代入（2），得到,（5）,11:25:33,22,为化简，定义,把（4）代入（3）,（6）,11:25:33,23,这样我们就可以将（5）和（6）改写
6、为,11:25:33,24,11:25:33,25,最小方差集的几何特征,性质1：最小方差集是均方平面上的双曲线,证明：由于,11:25:33,26,根据线性代数的性质有,不妨令,11:25:33,27,这样，由（9）得到的最优权重向量改写为,在得到最优权重的基础上，最小方差为,（10）,11:25:33,28,由于,（11）,所以,11:25:33,29,这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（min variance curve）。双曲线的中心是（0，b/c），渐近线为,对（11）配方得到,即,证毕.,11:25:33,30,g点是全局最小方差组合点（global minimum
7、 variance portfolio point）,11:25:33,31,性质2：全局最小方差点的权重向量为,证明：由于g点是最小方差前沿的一个点，故它满足（11），即,（12）,对（12）求驻点,11:25:33,32,所以， 代入（10）得到,11:25:33,33,2.1.2 两基金分离定理 （two-fund separation theorem）,定理2(两基金分离)：在均方效率前沿上任意两点的线性组合，等价于满足均方效率的资产组合。 假设wa和wb是在给定收益ra和rb（ra rb）是具有均方效率的资产组合（基金），则 命题1：任何具有均方效率的资产组合都是由wa和wb的线性组
8、合构成 命题2：反之，由wa和wb线性组合构成的资产组合，都具有均方效率。,11:25:33,34,证明1 ：假设资产组合c满足均方效率，则有,即c是a和b的线性组合，命题1证毕。,11:25:33,35,证明2：反过来，因为,即wc满足均方效率的最优权重，命题2证毕.,11:25:33,36,两基金分离定理的意义,定理的前提基金分离，即两基金（有效资产组合）的期望收益不同。 投资上的意义： 一个决定买入的均方效率资产组合的投资者，只要投资到任何两个满足均方效率且收益率不同的基金即可。 投资者无须直接投资于n 种风险资产，而只要线性地投资在两种基金上就可以了。 计算上的意义：要获得有效边界，我
9、们只需要获得任意两个解（即两个不同的投资权重），然后对解进行线性组合即可。如先计算全局最小方差点，然后再找一个点。,11:25:33,37,1、确定初始解 2、对初始解进行线性组合确定初始解的简单方法，首先令,必须注意：这可能使总权重不等于1，但可以通过标准化进行补救。,2.1.3 有效前沿的数值算法,11:25:33,38,为得到初始解V1，需求解下面的线性方程组,得到向量,然后将其单位化，即,11:25:33,39,为得到初始解V2，需求解下面的线性方程组,得到向量,然后将其单位化，得到,向量,也是均方效率解。,这样得到了最优组合1和2，可以通过对其进行线性组合得到，并根据组合的均值、方差
10、公式，计算得到其他均方点。,11:25:33,40,程序：资产组合有效前沿,ExpReturn =0.01*15.1 12.5 14.7 9.02 17.68; ExpCovariance =0.01*2.30 0.93 0.62 0.74 -0.23;0.93 1.40 0.22 0.56 0.26;0.62 0.22 1.80 0.78 -0.27;0.74 0.56 0.78 3.40 -0.56;-0.23 0.26 -0.27 -0.56 2.60; Matlab程序中以frontcon函数直接计算有效前沿，假设需要得到200种组合。,11:25:33,41,11:25:33,42,
11、2.2 资本资产定价模型,资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是由美国Stanford大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论基础上提出的一种证券投资理论。 CAPM解决了所有的人按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。 CAPM 理论包括两个部分：资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。,11:25:33,43,资产组合模型研究是研究风险资产构成的组合，但未讨论资产中加入无风险资产的情形。 假设无风险资产的具有正的期望收益，且其方差为0。 将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金）中，形成了一个无风险资产+风险基金的新组合，
12、则可以证明：新组合的有效前沿将是一条直线。,2.2.1 单基金定理,11:25:33,44,命题：一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。,一种风险资产与无风险资产构成的组合，其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。,11:25:33,45,加入无风险资产后的最优资产组合,风险,收益,无风险收益率rf,原组合 有效边界,M,F,新组合的 有效边界,11:25:33,46,单基金定理（分离定理）,The one-fund theorem: there is a single fund M of risky assets such that any efficient portf
13、olio can be constructed as a combination of the fund M and the risk-free asset F. 含义：只要无风险资产确定，则风险组合M也惟一确定。 直线FM上的点就是最优投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风险资产组合的有效边界分离了。 由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。,11:25:33,47,单基金定理的原因、条件和意义,原因：存在无风险资产，改变了有效前沿的外形，使得有效前沿为一条直线，且在风险资产组合最优边界上只取一个点（M） 条件：可以自由地以无风险利率借贷资金。 意义：不论投
14、资者偏好如何，M点由F点惟一确定。无需先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组合。 风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M，少投资无风险证券F，但总是会选择合适比例的M或者F。,11:25:33,48,分离定理对组合选择的启示,若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capital allocation decision）和资产选择决策（Asset allocation decision）。 资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。 资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。,11:25:33,49,资本资产
15、定价模型（CAPM）,CAPM由两个部分构成： 由单基金定理导出资本市场线（CML，Capital market line） 由资本市场线导出证券市场线（SML，Security market line） CAPM试图解决这样的问题：在一个具有风险资产和无风险资产的市场上，如果人人都是理性投资者，则资产应该如何定价的问题？,11:25:33,50,CAPM的基本假定,投资者根据一段时间内（单期）组合的预期收益率和方差来评价投资组合（理性） 所有投资者都可以免费和不断获得有关信息（市场有效） 资产无限可分，投资者可以购买任意数量的资产 投资者可以用无风险利率借入或者贷出货币 不存在税收和交易费用
16、 同质期望（Homogeneous expectations）：由于投资者均掌握了马克维茨模型，他们对证券的预期收益率和标准差和协方差的看法一致。,11:25:33,51,若所有的投资者信息成本相同（假定2），都能获得相同的信息，都将均方分析（假定6）应用于同样广泛的证券（假定3和假定4），在一个相同的计划期内计划他们的最优风险投资组合（假定1），投资顺序内容也相同（假定6），且不考虑其他因素（假定5），则他们必然达到相同结构的最优资产组合。 投资者的不同仅仅是风险偏好和拥有的投资禀赋不同。,11:25:33,52,2.2.2 资本市场线,同质期望（Homogeneous expectations）：由于理性投资者均会使用马克维茨的资产组合模型。即 市场中的每个投资者都是资产组合理论的有效应用者。 投资者对每个资产回报的均值、方差以及协方差具有相同的预期。 投资者之间的差异：风险规避程度。即资金在风险基金和无风险资产的投资比例的差异。,
