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1、第6章 数值积分和数值微分,本章的问题： 计算定积分abf(x)dx的近似值。 必要性: 如果f(x)的原函数是F(x)，则,等. 实际问题中常有些被积函数没有表达式,只是通过观测得到一些离散的数据点, 这样的定积分也只能用数值方法近似计算.,（牛顿-莱布尼兹公式）,但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用.如,第6 章 数值积分和数值微分 6.1 数值积分概述 6.2 牛顿-柯特斯公式 6.3 变步长求积和龙贝格算法 6.4 高斯型求积公式 6.5 数值微分,6.1.2 代数精度,代数精度与节点数的关系,6.1.3 插值求积公式,6.1.4 构造插值求
2、积公式的步骤,用待定系数法构造插值求积公式,6.2 牛顿-柯特斯求积公式 6.2.1 公式的导出 6.2.2 牛顿-柯特斯公式的代数精度 6.2.3 低阶求积公式的余项 6.2.4 复化求积法,6.2 牛顿-柯特斯求积公式 6.2.1 公式的导出,2 柯特斯系数的求取,柯特斯求积系数表：,例如：n=1时，有,n=2时，有,柯特斯系数的性质,(2) 系数有对称性。,(3) 当n8时开始出现负值的柯特斯系数。,(1),取f(x)1，则 f(n+1)(x)0, Rn(f)0，于是,梯形公式,当n=1时, 有,相当于用直线P(x)代替f(x)计算积分。,3 常用的低阶牛顿-柯特斯公式,抛物线(辛卜生)
3、公式,牛顿柯特斯求积公式 当n=2时有,相当于用过两个端点和中点的二次 抛物线P(x)代替f(x)计算积分。,辛卜生公式的几何意义,柯特斯公式,牛顿柯特斯求积公式 当n=4时有,6.2.2 牛顿柯特斯公式的代数精度,当 f(x)是 1,x,x2, xm 时，准确成立，但当f(x)= xm+1时，不准确成立，则称求积公式的代数精确度（简称代数精度）为m。,复习 定义 求积公式,（Ai与f(x)无关）,牛顿柯特斯公式是把积分区间分成n等分，用n+1个节点构造的插值求积公式。因此，牛顿柯特斯公式至少具有n 次代数精度，但当n为偶数时具有n+1 次代数精度。,定理 当n是偶数时，牛顿柯特斯求积公式具有
4、n+1次代数精确度。梯形公式， n=1( 2个节点）,有1次代数精度，应用梯形公式不是因为其代数精度高，而是因为其简单。辛卜生（抛物线）公式，n=2 ( 3个节点）,有3次代数精度， 柯氏公式，n=4 ( 5个节点）,有5次代数精度。因为其代数精度高，所以常采用。 当n=3 (4个节点）,因为n=3不是偶数，只有3次代数精度，所以该公式不采用。,证,由于(x-a)(x-b)在a, b 中不变号，,在a, b 中连续，,根据广义积分中值定理，存在一点 a, b ,使,6.2.3 牛顿柯特斯公式的余项梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项（误差估计）定理（梯形公式的余项）设f(x)在a,b上具有连
5、续的二阶导数，则梯形公式的余项（误差),对梯形公式余项的说明 负号 f(x)的2阶导数，有1次代数精度。 3 和区间的3次方成正比。,例 证梯形公式的代数精度为1。,证明 梯形公式是,误差,当f(x)=1,x 时，R1 (f ) = 0, 梯形公式成为准确等式.,当f(x)=x2 时，根据梯形公式， R1 (f )不为零。,因此，梯形公式的代数精度为1。,定理 （辛卜生公式的余项）设f(x)在a,b上具有连续的四阶导数，则辛卜生公式的余项,定理 （柯特斯公式的余项）设f(x)在a,b上具有连续的六阶导数，则柯特斯公式的余项,对辛卜生公式余项的说明 负号 f(x)的4阶导数，有3次代数精度。 3
6、 和区间的5次方成正比。,例 证明辛卜生公式的代数精度为3。,证明辛卜生公式是,误差,当f(x)=1,x,x2,x3 时，R2 ( f ) = 0,辛卜生公式成为准确等式.,当f(x)=x4 时，,因此，辛卜生公式的代数精确度为3。,0，辛卜生公式不能准确成立。,对科特斯公式余项的说明负号 f(x)的6阶导数，有5次代数精度。 3 和区间的7次方成正比。,梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式在区间不大时，用来计算定积分是简单实用的。但当区间比较大时，由余项可以看出精度差（梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项分别和区间长度的3，5，7次方成正比），为减小因区间过大造成的误差过大，将积分区间等分成
7、n 等份，对每等份（每个小区间）分别用低阶的牛顿柯特斯公式（如梯形公式、辛卜生公式或柯特斯公式）求积，然后将其结果加起来，得到积分的近似值。,6.2.4 复化求积法,复化求积法的基本思想：为减小因区间过大而造成的误差过大，将积分区间等分成若干等份,每份成为一个子区间，然后对每个子区间用低阶的求积公式（如梯形公式、辛卜生公式或科特斯公式等）求积，再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，得到复化求积公式。,将积分区间等分成n个小区间，在每个小区间上分别用梯形求积公式求积，然后再将其结果加起来。设f(x) 在a,b上有连续的二阶导数，n是正整数. 将a,b等分成n个小区间,1 复化梯形公式及
8、其误差,在,，上运用梯形公式,然后对各子区间的积分值相加,在a,b 上的误差,由于f(x)连续，对连续函数在a,b上存在 ，有 （平均值）,梯形公式的误差已知为,当f(x)在a,b有连续的2阶导数时，在子区间,例 用n=6的复化梯形公式计算积分,的近似值。,解,1.827655,用n=6的复化梯形公式计算积分,解,2 复化辛卜生（抛物线）公式及其误差,记子区间,的中点为,则复化辛卜生（抛物线）求积公式,当f(x) 在a,b上有连续的4 阶导数时，在子区间 辛卜生公式的误差为,使绝对误差小于10 6。,例 用复化辛卜生公式计算积分,的近似值,解,解不等式,求得 n=6。,用n=6的复化抛物线公式
9、计算积分，见上例。,3 复化柯特斯公式及其误差,将子区间,分成4等份，内分点依次为,则复化柯特斯求积公式,当f(x)在a,b有连续的6阶导数时，复化柯特斯公式的误差,6.3 变步长求积和龙贝格算法,复化求积公式能提高精度，但要给出步长，步长太大精度低，步长太小，计算量大。实际计算用变步长计算，在步长逐次二分过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求积分值满足精度要求为止。,将积分区间等分成n个子区间，则有n+1个分点,对子区间再增加一个新节点 ，区间增加1倍，有,对子区间 运用梯形公式，有,6.3.1 变步长梯形法则,比较,取 （ 允许截断误差 ） 在步长逐次二分的过程中，校验上式，取满足
10、精度的 。,若将区间再分半，为 则有,6.3.2 龙贝格（Romberg)求积法 梯形法的加速梯形法计算简单，精度较低，收敛慢，当把区间分成n等份，用复化公式计算积分的近似值为 ，截断误差为,当 时，T2n即为所求的近似值。是T2n 的修正项，它与T2n 之和比T2n 、Tn更接近与真值，即它是一种补偿。取,设f(x)在 a,b 连续且变化不大时，有f(n ) f(2n ) ,可得近似式,验后误差估计式,下面说明 将Tn ,T2n的表达式,代入，有,2 辛卜生法的加速当把区间分成n等份，用复化辛卜生公式计算积分的近似值为 ，截断误差为,若将区间再分半，为 则有,设 连续且变化不大时，有 ,可得近似式,具有5次代数精度。,3 龙贝格公式 （柯特斯法的加速）当把区间分成 n 等份，用复化柯特斯公式计算积分的近似值为 ，截断误差为,若将区间再分半，为 则有,设 连续且变化不大时，有 ,可得近似式,具有7次代数精度。,龙贝格积分法可以按下面表的顺序进行：,当对角线上最后两个相邻项满足,时,可停止计算并取 作为所求积分的近似值。,例 用龙贝格积分法计算积分,使精确度达到10-4。,解,最后得到,6.4.2 高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式,从定理可以看出，当 给定，节点 就确定了。,本题的精确解 ,求积公式具有4为有效数字。,6.5 数值微分,两点公式,
