机电控制系统的数学模型1

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1、第2章 机电控制系统的数学模型,2.1概述 2.2控制系统微分方程与状态空间描述 2.3控制系统传递函数与频率特性 2.4离散控制系统的数学模型 2.5数学模型的MATLAB描述,2.1 概述,数学模型：系统输入与输出之间的因果关系，即描述系统运动规律的数学表达式。为了设计一个机电控制系统，首先需要建立它的数学模型，也就是建模。一旦机电系统的数学模型建立起来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。,数学模型的常见形式： 1.输入-输出描述（外部描述） 把输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来。 如，微分方程、传递函数、差分方程等等。,例：如图电路所示，其微分方程组为,2.

2、状态变量描述（内部描述） 不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。,输入-输出的微分方程为,输入-输出的传递函数为,3.方框图模型 同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效分析与设计。,传递函数方框图模型,状态结构方框图模型,2.2 控制系统的微分方程与状态空间描述,式中，xi（t）为系统的输入量； xo（t）为系统的输出量；a0、a1、an，b0、b1、bm取决于系统结构、参数的系数。,2.2.1 机电控制系统的微分方程,机电

3、控制系统的输入与输出之间的关系一般可以采用微分方程或微分方程组来描述。线性非齐次微分方程的一般形式可以写成,非齐次方程的一般解（系统的全响应）的形式,当系统输入为零时，将处于自由运动状态（即零输入状态），则数学模型为齐次微分方程，即,系统输出解（响应）稳态分量（ xop ）瞬态分量（ xoh ） 稳态分量：由控制输入（激励）引起的强迫运动解，取决于系统的输入（控制）量； 瞬态分量：齐次解（通解）或自由运动解（零输入解），取决于系统结构或极点(特征根)。当系统稳定时，t，xoh（t） 0。 自由运动解即系统的自由运动模态（输出响应）描述了系统的固有特性（如稳定性等）。,系统的特征方程为,方程的根

4、即系统的特征根（极点）取决于系统的结构和参数。,系统在某一输入信号的作用下，系统输出量从初始状态到稳定状态的过渡过程称为系统瞬态响应；稳态响应是指t时系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。,例：图所示高通滤波电路，求：1）系统零输入时的自由运动方程及其零输入响应；2）输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。,解：系统的微分方程为,当系统的输入为零：ui(t)0 时，其系统的自由运动方程（齐次微分方程）为,其零输入响应（自由运动模态）为,式中，A为积分常数与系统的初始条件有关。,当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)sint 时，拉氏变换为,当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统

5、微分方程两边取拉氏变换得,输出响应的拉氏变换为,式中，a、b、c为Uo (s)的留数，待定系数。,系统的正弦输入时间响应为,代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为,将上式中第一项和第二项合并,当时间t时，系统的稳态响应为,2.2.2 控制系统的状态空间描述对一个线性定常系统，用高阶常微分方程或传递函数来描述，反映系统输出响应与输入的关系，也称为外部描述。一般只能处理单输人单输出系统，并且对存在于系统内部的中间变量是不能描述的。现代控制理论引入了状态和状态空间的概念，用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，揭示系统的内部特征，也称为内部描述。可以处理多输人多输出系统，而且还可以方便地处理初始条件

6、。因此，作为根据现代控制理论对控制系统进行分析和综合的前提，必须首先建立控制系统在状态空间中的数学模型，即控制系统的状态空间描述。,1.例子 通过下面两个例子说明引人状态空间分析方法建立数学模型的过程以及状态空间的一些基本概念。,(1) R-L-C电网络例 u为输入变量，y为输出变量，求它的数学模型,1)用经典法建立高阶微分方程,根据基尔霍夫电路定律，有电压平衡方程,消去中间变量i，得系统的微分方程为,在零初始条件下，用传递函数形式表示为,2)用现代法建立一阶微分方程组,（2）机电系统例图1-2为直流他励电动机的示意图。,根据电枢回路电压平衡方程，有,根据力矩平衡方程，有,由电动机原理，有,消

7、去中间变量i，得,在零初始条件下，相应的传递函数为,则式(1-5)改写为,写成矩阵方程,建立一阶微分方程组,通过上面两个例子，可得如下几个概念： 1)高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组。 2)一阶微分方程组的个数等于变量的个数，即等于高阶微分方程的阶数。 3)变量的选择不是唯一的，选择的变量不同，得到的方程组也不同。,2.状态变量和状态矢量状态是指系统的运动状态。状态变量是完全表征系统运动状态的且个数最少的一组变量。n阶微分方程描述的系统有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，n阶系统的状态变量就是系统的n个独立变量。状态变量选

8、取说明如下：1)同一个系统，状态变量的选取不是唯一的。2)状态变量相互独立的，其个数应等于微分方程的阶数。3)状态变量在初始时刻t0的值，就是系统的初始状态，即系统的n个独立初始条件。,则x(t)被称为状态矢量。,3.状态空间和状态空间描述(1)状态空间与状态轨迹 以状态变量x1，x2，xn为坐标轴构成的，n维空间称为状态空间。状态空间中的每 一点都代表了状态变量的唯一的、特定的一组值。换言之，在某一时刻t1的状态矢量x(t1)在状态空间中是一个点，而初始时刻to的状态x(to)是状态空间的一个初始点。随着时间的推移，tto，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。,状态空间：所有

9、n维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。,状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间t的状态是状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。,（2）输入向量和输出向量,输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量 。,：输入量的个数,输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量 。,：输出量的个数,主意：系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。,系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；,系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；,在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合。,用状态变量构成输入、输出与状态之间

10、的关系方程组即为状态空间描述。记为,（1）单输入-单输出线性定常系统状态空间描述的一般形式为,简洁地写成矩阵形式,式中,前述例：,式中,在状态空间描述中，上述的式(1-6)、式(1-8)和式(1-10)为状态方程，式(1-7)、式(1-9)和式(1-11)为输出方程。,（2）多输入多输出系统设有r个输入，m个输出，此时状态空间描述为,写成矩阵形式为,式中, x和A与单变量(单输入-单输出)系统相同，分别为n维状态矢量和nn系统矩阵；,同样，状态空间描述由式(1-12)状态方程和式(1-13)输出方程组成。传递函数和状态空间描述如图所示。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对

11、于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。,传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的变化，我们称之为外部描述。,状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。,例：求前述例1的另一状态方程。,系统的微分方程为,设状态变量：,即系统的状态方程为：,系统的输出方程为：,其矩阵方

12、程为:,式中，,在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。,4.状态结构图,和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号的传递关系。,单变量系统,图中用单线箭头表示标量信号传递，用双线箭头表示矢量信号传递。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。,多变量系统,例-1 一阶微分方程,例-2二阶微分方程,例-3 已知三阶单变量系统的状态空间描述为,例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。,5. 传递函数矩阵,

13、例：系统如下图所示，输入为 和 ，输出为 。,解：列写回路的电压方程和节点的电流方程,选取 为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为,设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得,消去 并整理得,写成向量矩阵形式为,其中,输入变量的Laplace变换象函数,输出变量的Laplace变换象函数,传递函数矩阵,传递函数矩阵,维输入向量,维输出向量,则对应的系统的传递函数矩阵为,多输入量多输出量的对象常用复线框来表示,6.传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系,所以,特征方程为,因为,设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。,例:,解:,已知,故,设系统的状态方程为,试求系统的特征方程和特

14、征值。,例:,系统的特征方程为,解:,特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。,例：求下列系统的传递函数矩阵。,其中,解：,例：求下列系统的传递函数矩阵。,其中,解：,2.3 机电控制系统的传递函数与频率特性,2.3.1 传递函数的表示形式 1.基本模型,与微分方程式的对应：,式中，a0、a1、an，b0、b1、bm取决于系统结构、参数的系数。,2.传递函数的零点、极点模型,为传递函数的零点,为传递函数的极点,为系统的传递系数或根轨迹增益系数,极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。,系统的特征方程为,特征根（极点）为,3.传递函

15、数的时间常数（归一化）模型,为传递函数的时间常数；,为传递函数的静态（稳态）放大系数或增益。,静态（稳态）放大系数与传递（根轨迹增益）系数之间的关系为,2.3.2 闭环控制系统传递函数在对机电控制系统性能进行分析时，需要建立开环极点、闭环极点以及增益等之间的关系。 1.传递函数关系 系统闭环传递函数为,闭环系统的方框图,前向通道传递函数为,反馈通道传递函数为,2.闭环特征函数,闭环特征函数F(s)的特点： 1)F(s)的零点为系统闭环极点， F(s) 的极点是系统开环极点； 2)F(s)分子和分母的阶数相等，闭环极点和开环极点数相同； 3)F(s)与开环传递函数Gk(s)相差一常数“1”，即

16、F(s) 1 Gk(s),2.3.3 机电控制系统的频率特性,1.频率响应 频率响应是控制系统在谐波（正弦）信号激励下的输出响应。 对于稳定系统，系统达到稳态时，其自由运动模态将衰减为零,例：图所示高通滤波电路，求输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。,解：系统的微分方程为,当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统微分方程两边取拉氏变换得 传递函数,当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)Aisint 时，拉氏变换为,输出响应的拉氏变换为,式中，a、b、c为Uo (s)的留数，待定系数。,系统的正弦输入时间响应为,由留数定理求得,代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为,将上式中第一项和第二项合并,当时间t时，系统的稳态响应为,可见，系统的频率响应的幅值随输入信号频率变化而变化，其相位也是随输入信号的频率变化而变化。当频率趋近无穷大时输出幅值才与输入幅值相等。,