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1、高考数学串讲（二）高考数学串讲（二） 直线直线 平面平面 简单几何体简单几何体一，基础知识 1,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法 （1）,运用定义证明(有时要用反证法); （2）,运用平行关系证明; （3）,运用垂直关系证明; （4）,建立空间直角坐标系,运用空间向量证 明 2,空间中的角和距离的计算 （1）,求异面直线所成的角,(平移法)过 P 作,则与的夹角就是与的夹角;/aa/bbabab,证明(或),则与的夹角为(或);ab/abab09000,求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().ab0, ab(0,2（2）,求直线与平面所成的角(定义法)若直线在平面内的射影是直线,则
2、与的夹角就是与的夹角;ababa,证明(或),则与的夹角为(或);a/aa09000求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.ana090090（3）,求二面角,(直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过 P 作 AB 的垂线,ABPAB交 AB 于 C,再过 P 作的垂线,垂足为 D,连结 CD,则,故为所求的二面角.CDABPCD,(面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形 FAB090的面积为,F 在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).1S2S21cosS S ,(异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角22222cosEFdmnmn的平面角,EA 在半平面内且
3、于点 A,BF 在半平面内且 FBABEAABAB 于 B,而,.ABdEAmFBn,(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为1n2n (同类)或(异类). （4）,求异面直线的距离(定义法)求异面直线公垂线段的长; (体积法)转化为求几何体的高; (转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; ABCDEA1B1C1D1二，跟踪训练1， （04 湖北）如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点。（I）试确定点 F 的位置，使
4、得平面；1D E 1AB F（II）当平面时，求二面角1D E 1AB F1CEFA的大小（结果用反三角函数值表示）ABC PNA1B1C1MABCFA1B1EC12， （04 北京）如图，在正三棱柱中，ABCA B C111AB3，M 为的中点，P 是 BC 上一AA14AA1点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱到 M 的最短路线CC1长为，设这条最短路线与的交点为 N，求：29CC1（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （II）PC 和 NC 的长； （III）平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示） 。3， （05 天津）如图，在斜三棱柱中，111ABCAB
5、CABCPEF，AB=AC，侧面11A ABA AC 11A AABa与底面 ABC 所成的二面角为，E，F 分11B BCC0120别是棱，的中点。11BC1A A（I）求与底面 ABC 所成的角；1A A（II）证明：平面；（III）求经过，A，B，C 四点的球的体积。1/AE1B FC1A4， （05 广东）如图，在四面体中，已知 PA=BC=6，PABCAOBCO1D图 1AOBCO1 D图 2PC=AB=10，AC=8，PB=。F 是线段 PB 上一点，2 34CF=，点 E 在线段 AB 上，且。153417EFPB（I）证明：平面 CEF；PB （II）求二面角的大小。BCEF5
6、， （05 湖南）如图 1，已知 ABCD 是上，下底边长分别为 2 和 6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴31OO折成直二面角，如图 2。（I）证明：；1ACBO（II）求二面角的大小。1OACO三，简明提示1， （I）设，得，当点 F 是 CD 的中点时，平面；DFx1 2x 1D E 1AB F（II）二面角的大小为。1CEFA1arccos32， （I）；（II）；（III）。9742,5PCNC4arctan53， （I）；（II）略；（III）半径，。0603 3Ra34 3 27Va4， （I）由勾股定理得均为直角，得平面 ABC，,PACPABPCBPA 再用等面积法证明，结合可证；CFPBEFPB（II）为所求的二面角的平面角，。FEB5arctan35， （I）建立空间直角坐标系，可证得；（II）用法向量法可求得。3arccos4
