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1、数列求和,数,列,求,和,求一个数列的前 n 项和的几种方法：,1 运 用 公 式 法,3 错 位 相 减 法,4 分组求和 法,2 倒序相加法,5 裂项相消法,1.公式法：,等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式,n2n,n2,例1：若实数a,b满足： 求：,分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和,例2 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an),解：,1，1/a,1/a21/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，,原式=,原因：,上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n 项和公式
2、不再成立。,例2 求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an),在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q1两种情况讨论求解。,对策：,公式法求和的前提是由已知条件能得到 此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅 要牢记公式，还要计算准确无误.,在什么情况下，用公式法求和？,2.倒序相加法,类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项具备某种固定的关系（如它们的和相等或等于同一个常数），那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求和；,倒序相加法：,例3,变式. 已知,求S .,热身训练,倒序相加法,倒序
3、相加法求和的前提首末两项等距离的 两项之和等于首末两项之和.,在什么情况下，用倒序相加法求和？,例4、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1),分析,这是一个等差数列n与一个等比数列xn-1的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？,Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 ,xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn ,(1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn,n项,这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。,错位相减法,例4、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,
4、1),解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1,xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn, -，得： (1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn,3.错位相减法：设数列 是公差为d的等差数列（d不等于零），数列 是公比为q的等比数列(q不等于1），数列 满足： 则 的前n项和为：,例5、求数列 的前n项和,在什么情况下，用错位相减法求和？,4.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.,若数列 的通项可转化为 的形式，且数列 可求出前n
5、项和 则,例6.求下列数列的前n项和 （1）,解（1）：该数列的通项公式为,注意！,将一个数列拆成若干个简单数列, 然后分别求和.,5.拆项求和,变式,求前n项和关键的第一步：,分析通项,在什么情况下，用拆项求和？,规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列. 其一：通项公式为：其二：通项公式为：,将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).,6.并项求和,例8. 1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？,局部重组转化为常见数列,并项求和,练习.求和=1-2+3-4+ +99-100,
6、=1-2+3-4+ +99-100=-50,交错数列，并项求和,即（-1）n bn型,分析：观察数列的前几项：,这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？,裂项相消法,评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。,7.裂项相消法：若数列 的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即： 或（ ）则可用如下方法求前n项和 .,例10设 是公差d 不为零的等差数列 ， 满足 求： 的前n项和,它的拆项方法你掌握了吗？,常见的拆项公式有：,(2)已知 ，若 前n项和 为10，则项数n为_.,120,在什么情况下，用裂项相消求和
7、？,若构成数列的项中含有(-1)n，或者数列是以分段函数形式给出时，则在求和Sn时，一般要考虑n是奇数还是偶数.,8. 奇偶分析法,例11：若数列an中，an=-2n-(-1) n，求S10和S99,解：an=-2n+2(-1) n，,变式,总结,1、本节课主要讲了种数列求和方法,公式法,分组结合法,错位相减法,裂项相消法,2、求和时应首先注意观察数列特点和规律考察此数 列，是否是基本数列求和或者可转化为基本数列求和。,3、要熟练运用这些方法，还需要我们在练习中不 断摸索。,并项法,奇偶分析法,倒序相加法,拆项法,数列求和的一般步骤：,等差、等比数列直接应用求和公式求和。 非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法 不能转化为等差、等比的数列，往往通过裂项相消法求和。,巩固训练,3.求和S=3+33+333+333,延伸拓展,【解题回顾】利用 ，再用裂项法求和.利用此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项.,P62 12、13,作业,
