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1、第第 2 2 课时课时 余余 弦弦 定定 理理1.了解向量法证明余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其推论. 3.能够利用余弦定理及其推论解三角形.如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度.工程技 术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,其中AB=km,AC=1 km,再3利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角BAC=150,你能通过计算求出山脚的长度 BC吗?问题 1:上述问题中,山脚BC长度的求解用的是余弦定理,余弦定理的内容是什么? 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍,
2、这个定理是余弦定理,可以用式子表示为a2= 、b2= 、c2= . 问题 2:余弦定理的推论:cos A= ;cos B= ;cos C= . 问题 3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具: (1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用 的观点,可以知三求一. (2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是:已知 ,解三 角形;已知 ,解三角形;已知 ,解三 角形. 问题 4:ABC的三边为a,b,c,对角分别为A,B,C,则: (1)若 ,则角C是直角; (2)若 ,则角C是钝角; (3)若 ,则角C是锐角. 1.在ABC中,abc=357,则ABC
3、的最大角为( ).A.100 B.135 C.120 D.1502.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若c=,b=2a,C=,则边a等于( ).3 3A.B.1 C.D.21 23 23.(1)以 7,24,25 为各边长的三角形是 三角形; (2)以 2,3,4 为各边长的三角形是 三角形; (3)以 4,5,6 为各边长的三角形是 三角形. 4.在ABC中,已知a2=b2+bc+c2,求角A.已知三角形的三边解三角形 在ABC中,已知abc=2(+1),求ABC各角的度数.63已知两边及其中一边的对角解三角形 在ABC中,a=3,b=3,B=30,解这个三角形.3利用余弦
4、定理判定三角形形状已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A), 2且mn= .7 2(1)求角A的大小; (2)若b+c=2a=2,试判断ABC的形状.3在ABC中,若 sin Asin Bsin C=23.则该三角形的最大内角为 . 19在ABC中,a=,b=1,B=30,解这个三角形.3在钝角ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是 . 1.在ABC中,sin Asin Bsin C=324,则 cos C等于( ).A.- B.- C. D.2 31 41 42 32.在ABC中,已知a4+b4+c4=2c2(a2
5、+b2),则角C等于( ).A.60B.45或 135C.120 D.30 3.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2+ac,则 cos B= . 4.已知在ABC中,a=8,b=7,B=60,求c.(2013 年新课标全国卷)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( ).A.10B.9 C.8 D.5 考题变式(我来改编):第 2 课时 余 弦 定 理知识体系梳理问题 1:b2+c2-2bccos A c2+a2-2accos B a2+b2-2abcos C问题 2: 2+ 2 2 22+
6、 2 2 22+ 2 2 2问题 3:(1)方程 (2)三边 两边及其夹角 两边及其一边的对角问题 4:(1)a2+b2=c2 (2)a2+b2c2基础学习交流1.C 设三边分别为 3k,5k,7k,则角C为最大角,根据余弦定理:cos C=2+ 2 2 2=-,C=120.(3)2+ (5)2 (7)2 2 3 51 22.B cos C=,解得a=1.2+ 2 2 252 3421 23.(1)直角 (2)钝角 (3)锐角 (1)72+242=252,三角形为直角三角形;(2)22+32-420,三角形为锐角三角形.4.解:由已知得b2+c2-a2=-bc,cos A=-,2+ 2 2 2
7、1 2又00),63由余弦定理有:cos A=,A=45,2+ 2 2 26 + ( 3 + 1)2 42 6( 3 + 1)2 2cos B=,B=60,2+ 2 2 24 + ( 3 + 1)2 62 2 ( 3 + 1)1 2C=180-45-60=75.【小结】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.探究二:【解析】根据余弦定理得:b2=c2+a2-2cacos B,即c2-9c+18=0,解得:c=3 或c=6.当c=3 时,cos A=-,2+ 2 2 21 2A=120,故C=180-120-30=30;当c=6
8、 时,cos A=,2+ 2 2 21 2A=60,故C=180-60-30=90.综上可知:A=60,C=90,c=6 或A=120,C=30,c=3.【小结】已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边).探究三:【解析】(1)m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A), 2mn=4cos2-cos 2A=4-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3. 21 + 2又mn=
9、,-2cos2A+2cos A+3=,解得 cos A= .00),2 319则b=3x,c=x.显然cba,19C是最大角.cos C=-,C=.2+ 2 2 2(2)2+ (3)2 ( 19)2 2 2 31 22 3应用二:(法一)根据余弦定理得:b2=c2+a2-2cacos B,即c2-3c+2=0,解得:c=1 或 2.当c=1 时,C=B=30,A=120;当c=2 时,ABC为直角三角形,C=90,A=60.(法二)可由正弦定理=得 sin A=,A=60或 120. 3 2当A=60时,C=90,c=2;当A=120时,C=30,c=1.应用三:(,3) 根据余弦定理得:co
10、s C=,52+ 2 2 25 2 4C为最大角,C为钝角,即 cos C=(-1,0),5 2 4解得:c3.5基础智能检测1.B 由正弦定理得abc=324,cos C=- .2+ 2 2 21 42.B a4+b4+c4=2c2(a2+b2),a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2=0,即(a2+b2-c2)2=2a2b2,=,即 cos C=,故C=45或 135.2+ 2 2 22 22 23. cos B= .1 22+ 2 2 2 21 24.解:b2=c2+a2-2accos B,72=c2+82-28ccos 60,c2-8c+15=0,故c=3 或c=5.全新视角拓展D 根据题目条件 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2A-1=0,即 cos2A=.又因为三角1 25形为锐角三角形,所以 cos A=,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,即 72=36+b2-b,化简得1 512 55b2-12b-65=0,解得b=5,所以答案为 D.
