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1、【名师一号名师一号】2014-2015】2014-2015 学年高中数学学年高中数学 第一章第一章 立体几何初步立体几何初步单元同步测试(含解析)北师大版必修单元同步测试(含解析)北师大版必修 2 2时间 120 分钟 满分 150 分一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分在下列四个选项中,只有一项是符合题意的)1下列说法正确的是( )A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面与平面有不同在一条直线上的三个交点解析 梯形有两条边平行,过两条平行直线有且只有一个平面答案 C2室内有直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线( )
2、A异面 B相交C平行 D垂直答案 D3若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是( )Ab BbCb或b Db与相交或b或b答案 D4若三球的半径之比是 1:2:3,则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的( )A4 倍 B3 倍C2 倍 D1 倍解析 设三个球的半径依次为a,2a,3a,V最大 (3a)4 3336a3,V1V2 a3 (2a)3a312a3,3.4 34 336 3V最大 V1V2答案 B5一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )答案 C6用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab,bc,则
3、ac;若ab,bc,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab.其中真命题的序号是( )A BC D解析 根据公理 4,知正确;根据垂直于同一平面的两直线平行可知正确答案 C7在空间四边形ABCD中,若ADBC,BDAD,则有( )A面ABC面DBC B面ABC面ADCC面ABC面ADB D面ADC面DBC解析 如图,在四面体ABCD中,ADBC,ADBD,BDBCB,AD面BCD.又AD面ADC,面ADC面BCD.答案 D8在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,下列说法中正确的个数有( )CD面ABB1A1;BC1面A1DC;面ADC面ABB1A1.A0 个 B1 个C2
4、 个 D3 个解析 ABCA1B1C1为直三棱柱,ACBC,D为AB的中点,CDAB,由两平面垂直的性质定理,可知CD面ABB1A1,又CD面ADC,故面ADC面ABB1A,故、正确,对于连接AC1,BC1,设A1CAC1O,则O为AC1的中点,又D为AB的中点,ODBC1.又OD面A1DC,BC1面A1DC,BC1面A1DC,故正确答案 D9一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为( )A. m3 B. m37 39 2C. m3 D. m37 29 4解析 由三视图可知,原几何体如图所示,故V313 133 m3.1 21 27 2答案 C10如图,平行四边形A
5、BCD中,ABBD,沿BD将ABD折起到ABD,使面ABD面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面有( )面ABD面BCD;面ACD面ABD;面ABC面BCD;面ACD面ABC.A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析 由于面ABD面BCD,故正确又ABBD则ABBD,则ABBD,AB面BCD,故面ABC面BCD,又CDBD,面ACD面ABD,故正确,显然不正确答案 C二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分把答案填在题中横线上)11某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_解析 由三视图知,该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的,所以体积是44
6、2241616.答案 161612若正三棱台的上、下底面的边长分别为 2 和 8,侧棱长为 5,则这个棱台的高为_解析 由题可知,上底面三角形的高为 2sin60,下底面三角形的高为 8sin6034,故棱台的高h.3524 3 3 2 3213答案 1313已知圆锥的表面积为a m2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径为_解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 l2r,即l2r,S圆锥表r2rl3r2a,则r.3a3答案 m3a314如图四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件:_时,SC面EBD.解析 当E为SA的中点时,设ACBDO,连
7、接EO,EB,ED,ABCD为平行四边形,O为AC的中点EOSC,又SC面EBD,OE面EBD,SC面EBD.答案 E为SA的中点15如图所示,平面平面,在与的交线l上,取线段AB4,AC、BD分别在平面和平面内,ACl,BDl,AC3,BD12,则线段CD的长为_解析 连接BC,ACl,CAB90,CB5.AC2AB23242又BDl,BD平面.又BC,BDBC.CDBD2BC213.12252答案 13三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)16(12 分)已知圆台的上、下底面半径分别是 2,5,且侧面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线
8、长解 设圆台的母线长为l,则圆台的上、下底面面积为S上224,S下5225,圆台的两底面面积之和SS上S下29,又圆台的侧面积S侧(25)l7l,由 7l29,得l,29 7即母线长为.29 717(12 分)如图所示,已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EHFG.求证:EHBD.证明 EHFG,EH面BDC,FG面BDC,EH面BDC,又EH面ABD,面ABD面BDCBD,EHBD.18(12 分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,ABAA1,BAA160.(1)证明:ABA1C;(2)若ABCB2,A1C,求三棱柱ABCA1B1C1的体积
9、6解 (1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CACB,所以OCAB.由于ABAA1,BAA160,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为 2 的等边三角形,所以OCOA1.3又A1C,则A1C2OC2OA,故OA1OC.62 1因为OCABO,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC,故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.319(13 分)如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,E,F分别是AB,PC的中点
10、,PDA45.(1)求证:EF面PAD;(2)求证:面PCE面PCD.证明 (1)设PD中点为G,连接FG,AG,F,G分别为PC,PD的中点,FG綊CD.又E为AB的中点,1 2AE綊FG.即四边形EFGA为平行四边形EFAG.又EF面PAD,AG面PAD,EF面PAD.(2)PA面ABCD,PAAD,PACD.又在 RtPAD中,PDA45,PAAD,AGPD.又CDAD,CDPA,且PAADA,CD面PAD,CDAG,又PDCDD,AG面PCD.由(1)知EFAG,EF面PCD,又EF面PCE,面PCE面PCD.20(13 分)如图,ABC是等腰直角三角形,ACBC4,E,F分别为AC,
11、AB的中点,将AEF沿EF折起,使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图.(1)求证:EFAC;(2)求三棱锥FABC的体积解 (1)证法 1:在ABC中,EF是等腰直角ABC的中位线,在四棱锥ABCEF中,EFAE,EFEC,EF平面AEC,又AC平面AEC,EFAC.证法 2:同证法 1 EFEC,AOEF,EF平面AEC.又AC平面AEC,EFAC.(2)在直角梯形EFBC中,EC2,BC4,SFBCBCEC4.1 2又AO垂直平分EC,AO,AE2EO23三棱锥FABC的体积VFABCVAFBCSFBCAO 4.1 31 334 3321(13 分)如图所示,已知正方体ABC
12、DA1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点(1)求证:C1O平面AB1D1;(2)求证:A1C平面AB1D1;(3)若AA12,求三棱锥A1AB1D1的体积解 (1)证明:设B1D1的中点为O1,ABCDA1B1C1D1为正方体,C1O1綊AO.故AOC1O1为平行四边形AO1C1O,又AO1面AB1D1,C1O面AB1D1,C1O面AB1D1.(2)证明:B1D1A1C1,B1D1CC1,A1C1C1CC1.B1D1面ACC1A1,A1C面ACC1A1.B1D1A1C.同理可证A1CAB1.又AB1B1D1B1,A1C面AB1D1.(3)VA1AB1D1VAA1B1D1 222 .1 31 24 3