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1、【名师一号名师一号】2014-2015】2014-2015 学年高中数学学年高中数学 第一章第一章 立体几何初步立体几何初步单元同步测试（含解析）北师大版必修单元同步测试（含解析）北师大版必修 2 2时间 120 分钟 满分 150 分一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1下列说法正确的是( )A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面与平面有不同在一条直线上的三个交点解析 梯形有两条边平行，过两条平行直线有且只有一个平面答案 C2室内有直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线( )
2、A异面 B相交C平行 D垂直答案 D3若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是( )Ab BbCb或b Db与相交或b或b答案 D4若三球的半径之比是 1:2:3，则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的( )A4 倍 B3 倍C2 倍 D1 倍解析 设三个球的半径依次为a,2a,3a，V最大 (3a)4 3336a3，V1V2 a3 (2a)3a312a3，3.4 34 336 3V最大 V1V2答案 B5一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案 C6用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则
3、ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号是( )A BC D解析 根据公理 4，知正确；根据垂直于同一平面的两直线平行可知正确答案 C7在空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，则有( )A面ABC面DBC B面ABC面ADCC面ABC面ADB D面ADC面DBC解析 如图，在四面体ABCD中，ADBC，ADBD，BDBCB，AD面BCD.又AD面ADC，面ADC面BCD.答案 D8在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，下列说法中正确的个数有( )CD面ABB1A1；BC1面A1DC；面ADC面ABB1A1.A0 个 B1 个C2
4、 个 D3 个解析 ABCA1B1C1为直三棱柱，ACBC，D为AB的中点，CDAB，由两平面垂直的性质定理，可知CD面ABB1A1，又CD面ADC，故面ADC面ABB1A，故、正确，对于连接AC1，BC1，设A1CAC1O，则O为AC1的中点，又D为AB的中点，ODBC1.又OD面A1DC，BC1面A1DC，BC1面A1DC，故正确答案 D9一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A. m3 B. m37 39 2C. m3 D. m37 29 4解析 由三视图可知，原几何体如图所示，故V313 133 m3.1 21 27 2答案 C10如图，平行四边形A
5、BCD中，ABBD，沿BD将ABD折起到ABD，使面ABD面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有( )面ABD面BCD；面ACD面ABD；面ABC面BCD；面ACD面ABC.A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析 由于面ABD面BCD，故正确又ABBD则ABBD，则ABBD，AB面BCD，故面ABC面BCD，又CDBD，面ACD面ABD，故正确，显然不正确答案 C二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中横线上)11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_解析 由三视图知，该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的，所以体积是44
6、2241616.答案 161612若正三棱台的上、下底面的边长分别为 2 和 8，侧棱长为 5，则这个棱台的高为_解析 由题可知，上底面三角形的高为 2sin60，下底面三角形的高为 8sin6034，故棱台的高h.3524 3 3 2 3213答案 1313已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为_解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 l2r，即l2r，S圆锥表r2rl3r2a，则r.3a3答案 m3a314如图四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件：_时，SC面EBD.解析 当E为SA的中点时，设ACBDO，连
7、接EO，EB，ED，ABCD为平行四边形，O为AC的中点EOSC，又SC面EBD，OE面EBD，SC面EBD.答案 E为SA的中点15如图所示，平面平面，在与的交线l上，取线段AB4，AC、BD分别在平面和平面内，ACl，BDl，AC3，BD12，则线段CD的长为_解析 连接BC，ACl，CAB90，CB5.AC2AB23242又BDl，BD平面.又BC，BDBC.CDBD2BC213.12252答案 13三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16(12 分)已知圆台的上、下底面半径分别是 2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线
8、长解 设圆台的母线长为l，则圆台的上、下底面面积为S上224，S下5225，圆台的两底面面积之和SS上S下29，又圆台的侧面积S侧(25)l7l，由 7l29，得l，29 7即母线长为.29 717(12 分)如图所示，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EHFG.求证：EHBD.证明 EHFG，EH面BDC，FG面BDC，EH面BDC，又EH面ABD，面ABD面BDCBD，EHBD.18(12 分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积
9、6解 (1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为 2 的等边三角形，所以OCOA1.3又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.62 1因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.319(13 分)如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点
10、，PDA45.(1)求证：EF面PAD；(2)求证：面PCE面PCD.证明 (1)设PD中点为G，连接FG，AG，F，G分别为PC，PD的中点，FG綊CD.又E为AB的中点，1 2AE綊FG.即四边形EFGA为平行四边形EFAG.又EF面PAD，AG面PAD，EF面PAD.(2)PA面ABCD，PAAD，PACD.又在 RtPAD中，PDA45，PAAD，AGPD.又CDAD，CDPA，且PAADA，CD面PAD，CDAG，又PDCDD，AG面PCD.由(1)知EFAG，EF面PCD，又EF面PCE，面PCE面PCD.20(13 分)如图，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，E，F分别为AC，
11、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图.(1)求证：EFAC；(2)求三棱锥FABC的体积解 (1)证法 1：在ABC中，EF是等腰直角ABC的中位线，在四棱锥ABCEF中，EFAE，EFEC，EF平面AEC，又AC平面AEC，EFAC.证法 2：同证法 1 EFEC，AOEF，EF平面AEC.又AC平面AEC，EFAC.(2)在直角梯形EFBC中，EC2，BC4，SFBCBCEC4.1 2又AO垂直平分EC，AO，AE2EO23三棱锥FABC的体积VFABCVAFBCSFBCAO 4.1 31 334 3321(13 分)如图所示，已知正方体ABC
12、DA1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点(1)求证：C1O平面AB1D1；(2)求证：A1C平面AB1D1；(3)若AA12，求三棱锥A1AB1D1的体积解 (1)证明：设B1D1的中点为O1，ABCDA1B1C1D1为正方体，C1O1綊AO.故AOC1O1为平行四边形AO1C1O，又AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，C1O面AB1D1.(2)证明：B1D1A1C1，B1D1CC1，A1C1C1CC1.B1D1面ACC1A1，A1C面ACC1A1.B1D1A1C.同理可证A1CAB1.又AB1B1D1B1，A1C面AB1D1.(3)VA1AB1D1VAA1B1D1 222 .1 31 24 3
