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1、1.3.11.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积数学建模法数学建模法数学模型方法不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，也是处理科技领域中各种实 际问题的一般数学方法.我国从 1992 年开始的一年一度的大学生数学建模竞赛，正得到各 大专院校的广泛支持和广大学生的积极参与，全国上下掀起了学数学建模、应用数学建模 解决实际问题的高潮，这一切表明数学建模方法在理论上和应用上的重要性.数学建模的过 程大概可表示如下：实际问题;抽象、简化、假设，确定变量和参数;建立数学模型并求解， 确定参数;用实测数据等来检验该数学模型;回到实际问题.下面介绍数学模型法解决问题的一个例
2、子：怎样使饮料罐制造用材最省的问题.首先，把饮料罐假设为正圆柱体（实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学 上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的）.在这种简化下，我们就可以来明确变 量和参数了，例如可以假设：V罐装饮料的体积，r半径，h圆柱高，b制罐铝材的厚度，k制造 中工艺上必须要求的折边长度.上面的诸多因素中，我们先不考虑 k 这个因素.于是 V=r2h，由于易拉罐上底的强度 必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的 3 倍.因而制罐用材的总面积为A=3r2b+r2b+2rhb=(4r2+2rh)b.每罐饮料的体积是一样的，因而 V 可以看成是一个常数（参数） ，解
3、出 h=2rV 代入A，得 A=A(r)=2b（2r2+rV ） ，从而知道，用材最省的问题是求半径 r 使 A(r)达到最小.A(r)的表达式就是一个数学模型.可以用多种精确或近似方法求 A(r)的极小值及相应的 r.易求得：h=3 233232)4()4(VV VV =4r,即罐高 h 应为半径 r 的 4 倍.当你拿起可口可乐、百事可乐、健力宝等饮料罐测量一下时，高 h 和半径 r 的比几乎 与上述计算完全一致！其实这一点也不奇怪，这些大饮料公司年生产的罐装饮料都高达几 百万罐，甚至更多，因而从降低成本和获取利润的角度，这些大公司的设计部门一定会考 虑在同样工艺条件、保证质量前提下用材最
4、省的问题.大家还可以把折边 k 这一因素考虑进 去，然后得到相应的数学模型，并求解之，最后看看与实际符合的程度如何.这个问题的解答可以给我们很多启发，我们会发现现实生活中有许多的类似问题.例如， 当你到民航售票处去买国际机票时，你在机票上会看到像“免费交运的行李为两件，每件 最大体积（三边之和）不得超过 62 英寸（158 cm） ，但两件之和不得超过 107 英寸（273 cm） ，每件重量不得超过 32 公斤”的说明.试计算一下三边之和为 158 cm 的长方体（我们 通常用的箱子、装货的纸箱都是这种形状的）要使之体积最大的长、宽、高应是多少？ （试证明为正方体！）再到市场上去调查一下有多少箱子是这样的,为什么？在马路上见到 的油罐车上的油罐为什么不是正圆柱形而是椭圆圆柱形？体积一定、用材最少的油罐的尺 寸应是什么形状？这些问题都会激起我们的思考和应用数学的兴趣.
