《高中数学 1.2 应用举例习题1 新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 1.2 应用举例习题1 新人教a版必修5（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正、余弦定理在三角形中的应用正、余弦定理在三角形中的应用A 组 基础巩固1在ABC中，若 ，则ABC是( )cosA cosBb a4 3 A直角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形解析：根据正弦定理 ，因此 sinBcosBsinAcosA，即 sin2Bsin2A，b asinB sinAcosA cosB所以BA或 2B2A，由于 ，所以 2B2A 成立，即BA.b a4 3 2 答案：A 2ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于( )3A. B.3234C.或 D.或3233234解析：，sinC.0C180，C60或 120.(1)当1 sin303
2、sinC32 C60时，A90，BC2.此时SABC.32 (2)当C120时，A30，此时SABC 1sin30.1 2334 答案：D 3在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC的值为( )A. B.1 232 C. D233解析：SABCABACsinA.1 232 答案：B4在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为( )32 A. B33 C. D77解析：SABCABACsinA，1 232 AC1， 由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcosA 41221cos603. 即BC.3 答案：A 5若ABC的周长等于 20，面积是 10，B60，
3、则边AC的长是( )3 A5 B6 C7 D8 解析：设ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B60，由题意，得 Error!即Error! 解得b7，边AC的长为 7. 答案：C6在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则 sinC的值为( )3A. B.3336C. D.6366 解析：设ABAD，3则BD AB2，BC2BD4，23 在ABD中利用余弦定理得cosA ， 32 32222 3 31 3sinA.1(13)22 23在ABC中利用正弦定理得，BC sinAAB sinCsinC，故选 D.ABsinA BC3 2 23 466 答案：D
4、7在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程 5x27x60 的根，则第三 边c的长为_ 解析：5x27x60 可化为(5x3)(x2)0.x1 ，x22(舍去)3 5cosC .3 5 根据余弦定理，c2a2b22abcosC5232253 16.3 5 c4，即第三边长为 4. 答案：4 8已知ABC的三个内角A，B，C满足 2BAC，且AB1，BC4，则BC边上的中 线AD的长为_ 解析：2BAC，ABC3B180， B60，BC4，BD2，在ABD中， ADAB2BD22ABBDcos60 .12222 1 2cos603 答案：3 9在锐角三角形中，边a、b是方程x22x20 的
5、两根，角A、B满足：3 2sin(AB)0，求角C的度数，边c的长度及ABC的面积3解：由 2sin(AB)0，得 sin(AB)，332 ABC为锐角三角形，AB120，C60， 又a、b是方程x22x20 的两根，3 ab2，ab2.3 c2a2b22abcosC(ab)23ab1266，c，SABCabsinC 2.61 21 23232 10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证： c.a bb a(cosB bcosAa)证明：由余弦定理的推论得 cosB，a2c2b2 2accosA，代入等式右边，得b2c2a2 2bc右边c(a2c2b2 2abcb2c2a22a
6、bc) 左边，2a22b2 2aba2b2 aba bb a c.a bb a(cosB bcosAa)B 组 能力提升 11在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD，周长为 18，则这个平行四边6517 形的面积为( )A16 B.35 2 C18 D32解析： 如右图，设ABCDa，ADBCb， 则Error! 即Error! 解得Error!或Error!cosBAD ，524217 2 5 43 5sinBAD ，从而SABCD45 16.4 54 5 答案：A12若三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足等式c2 abb，则B_.a2 bc解析：b，c2 ab
7、a2 bc a3b3c3a2bab2c2bb2cabc0， 即(abc)(a2c2b2ac)0. 又a，b，c表示边长，abc0， a2c2b2ac0，由余弦定理的推论得 cosB ，1 2 B60. 答案：6013在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB.3 (1)求角B的大小； (2)若b3，sinC2sinA，求a，c的值解：(1)由bsinAacosB及正弦定理，得 sinBcosB，3a sinAb sinB3 所以 tanB，3所以B. 3(2)由 sinC2sinA及，得c2a.a sinAc sinC 由b3 及余弦定理b2a2c22accosB
8、，得 9a2c2ac， 所以a，c2.33 14在ABC中，求证：a2sin2Bb2sin2A2absinC. 证明：法一：左边a22sinBcosBb22sinAcosAa2b22b 2Ra2c2b2 2ac2a 2Rb2c2a2 2bc(a2c2b2b2c2a2)ab 2Rc2c22ab2absinCab 2Rcc 2R 右边 所以原式得证 法二：a2sin2Bb2sin2A (2RsinA)22sinBcosB(2RsinB)22sinAcosA 8R2sinAsinB(sinAcosBcosAsinB) 8R2sinAsinBsin(AB) 8R2sinAsinBsinC 22RsinA2RsinBsinC 2absinC. 所以原式得证
