数学人教b必修1第二章2.1.1　函　数

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1、2.1.12.1.1 函函 数数 1函数的定义 传统 定义 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x 值，相应地就确 定唯一的一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变 量 近代 定义 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有 唯一确定的数 y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记 作 yf(x)，xA，其中 x 叫做自变量，自变量的取值范围(数集 A)叫做这个 函数的定义域所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值 域函数 yf(x)也经常写作函数 f 或函数 f(x)

2、来源: (1)如果自变量取 a，则把由对应法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 yf(a)或 y|xa； (2)由函数的定义，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： 定义域和对应法则是否给出； 根据给出的对应法则，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函 数值 y. (3)函数的三要素： 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应法则、值域，这三个要素 又称为函数的三要素 初中所学的函数的三要素如下表： 函数定义域对应法则值域 正比例函数Rf(x)kx(k0)R 反比例函数 x|x0 f(x) (k0) k x y|y0 一次函数Rf(

3、x)kxb(k0)R 当 a0 时， 2 4 4 acb y y a 二次函数来源: 来源: 数理化网 R f(x)ax2bxc(a0)来源:来源: 当 a0 时， 2 4 4 acb y y a (4)由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数就只需两 个要素：定义域和对应法则因此，定义域和对应法则为“y 是 x 的函数”的两个基本条 件，缺一不可 (5)对符号 f(x)的理解 f(x)表示关于 x 的函数，又可以理解为自变量 x 对应的函数值，是一个整体符号，不 能分开写符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如 f(x)x2x5，当 x2 时，看作对“

4、2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去 2，最后加上 5； 对于 f(x)中 x 的理解，虽然 f(x)3x 与 f(x1)3x 从等号右边的表达式来看是一样 的，但由于 f 施加法则的对象不一样(一个为 x，而另一个为 x1)，因此函数解析式也是不 一样的； 函数 f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应法则，如图象、表格、 文字、描述等； f(x)与 f(a)的关系：f(x)表示自变量为 x 的函数，表示的是变量，f(a)表示当 xa 时的 函数值，是值域内的一个值，是常量，如 f(x)x1，当 x3 时，f(3)314. 【例 11】下列式子能确定 y 是 x 的函数的是(

5、 ) x2y22；. 32 = 1 x y x =21yxx A B C D 解析：解析：对某一范围内的任意一个 x，按照某种对应法则，都有唯一确定的 y 值和它对 应，则称 y 是 x 的函数由 x2y22，得，因此由它不能确定 y 是 x 的函 2 =2yx 数由知，当 x 在x|x1中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之对 32 = 1 x y x 应，故由它可以确定 y 是 x 的函数由得 x 不存在，故由它不能确定 y 是 x 20, 10 x x 的函数 答案：答案：C 【例 12】判断下列对应 f 是否为集合 A 到集合 B 的函数？ (1)A1,2,3，B7,8,9，f

6、(1)f(2)7，f(3)8； (2)AZ，B1,1，n 为奇数时，f(n)1；n 为偶数时，f(n)1； (3)AB1,2,3，f(x)2x1. 分析：分析：判断一个对应 f 是否为集合 A 到集合 B 的函数，首先要判断它是否满足 A 中的 任意一个元素在 B 中都有唯一确定的值与之对应若满足，且 A，B 又是两个非空数集， 则该对应是函数；若不满足，则它一定不是函数 解：解：(1)集合 A 中的元素没有剩余，即 A 中的任何一个元素在 B 中都有唯一确定的元素 与之对应，同时集合 A 和 B 都是数集，故对应 f 是集合 A 到集合 B 的函数 同理，(2)中的对应 f 也是集合 A 到

7、集合 B 的函数 (3)由于 f(3)2315B，即集合 A 中的元素 3 在集合 B 中没有元素与之对应， 所以对应 f 不是集合 A 到集合 B 的函数 点技巧点技巧 判断一个对应法则是否是函数关系的方法 从以下三个方面判断：(1)A，B 必须都是非空数集；(2)A 中任一实数在 B 中必须有实 数和它对应；(3)A 中任一实数在 B 中和它对应的实数是唯一的注意：A 中元素无剩余， B 中元素允许有剩余 2函数的定义域和值域 定义域 (1)函数的定义域是函数 yf(x)的自变量 x 的取值范围 (2)对于函数的定义域，要从以下两方面考虑： 定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同

8、的函数，如 yx2(xR)与 yx2(x0)； 若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的取值集 合，在实际问题中，还必须使 x 所代表的具体量符合实际意义 (3)求函数定义域的原则： 求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化； 求函数的定义域就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围 a当 f(x)是整式时，其定义域为 R； b当f(x)是分式时，其定义域是使分母不为 0 的实数的集合； c当 f(x)是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合； d由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的制约 【例 21】

9、求函数 y(x1)0的定义域 2 1x 解：解：要使函数有意义，则要解得 x1，且 x1. 10, 10, x x 所以这个函数的定义域为x|x1，且 x1 值域 求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域 A 上的函数 yf(x)，其值域就是指集合 Cy|yf(x)，xA；二是函数的定义域、对应法则是确定函 数的依据 【例 22】求下列函数的值域： (1)(x4)；(2)y2x1，x1,2,3,4,5=1yx 解：解：(1)x4，.，即 y1.2x 1 1x 函数 y1(x4)的值域为y|y1x (2)y2x1，且 x1,2,3,4,5，当 x1 时，y3；当 x2 时，

10、y5；当 x3 时， y7；当 x4 时，y9；当 x5 时，y11.函数的值域是3,5,7,9,11 辨误区辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求值域时一定要注意定义域，如函数 yx24x6 的值域与函数 yx24x6(x1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换 元后新元取值范围的变化，例如求函数 yx的值域时，令 t，将函数转 2x12x1 化为关于自变量为 t 的二次函数后，自变量 t 的取值范围是 t0. 3函数相等 当且仅当两个函数的三要素相同时，这两个函数是相等的 由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则决定的，因此两个函数的定义域和对应 法则相同，

11、那么这两个函数的值域就相同即确定一个函数只需要两个要素：定义域和对 应法则因此判断两个函数是否为同一个函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否相 同即可 判断两个函数是否相等的步骤是： (1)求定义域； (2)判断定义域是否相同，若定义域不同，则这两个函数不相等，若定义域相同，再继 续下一步； (3)化简函数的解析式，若解析式相同即对应法则相同，则这两个函数相等，否则这两 个函数不相等 注意：上面的步骤(2)和(3)的顺序不能颠倒，否则就会出现错误比如，函数 y的 x3 x 定义域是(，0)(0，)，函数 yx2的定义域是 R，由于这两个函数的定义域不相 同，则这两个函数不相等但是若化简函数

12、y的解析式为 yx2，则会错得函数 y x3 x 与函数 yx2相等 x3 x 【例 31】下列函数与函数 g(x)2x1(x2)相等的是( ) Af(m)2m1(m2) Bf(x)2x1(xR) Cf(x)2x1(x2) Df(x)x2(x1) 解析：解析：对于 A，yf(m)与 yg(x)的定义域与对应法则均相同，所以两个函数相等；对 于 B，两个函数的定义域不同，所以两个函数不相等；对于 C，两个函数的对应法则不同， 所以两个函数不相等；对于 D，两个函数的定义域与对应法则都不相同，所以两个函数不 相等 答案：答案：A 【例 32】判断下列各组中的函数 f(x)与 g(x)是否相等，并说

13、明理由： (1)f(x)x2，g(x)(x1)2； (2)f(x)(x1)0，g(x)1； (3)f(x)x，g(x)； 2 x (4)f(x)|x|，g(x). 2 x 分析：分析： 解：解：(1)定义域相同都是 R，但是它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函 数不相等 (2)f(x)的定义域是x|x1，g(x)的定义域为 R，它们的定义域不同，故两个函数不相 等 (3)定义域相同都是 R.但是 f(x)x，g(x)|x|，即它们的解析式不同，也就是对应法则 不同，故两个函数不相等 (4)定义域相同都是 R，解析式化简后都是 y|x|，即对应法则相同，那么值域必相同， 这两个函数的三

14、要素完全相同，故两个函数相等 释疑点释疑点 满足什么条件的两个函数相等 (1)只要两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，那么这两个函数就相等；(2) 当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数也不一定是同一函数，因为函数的定 义域和值域不能唯一确定函数的对应法则，例如：函数 f(x)x 和函数 f(x)x 的定义域 相同，均为 R；值域也相同，均为 R，但这两个函数不相等 4区间 区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式设 a，b 是两个实数，而且 ab.我们 规定： (1)满足 axb 的全体实数 x 的集合，叫做闭区间，记作a，b； (2)满足 axb 的全体实数 x 的集合，叫做开区间，记作(a，b)； (3)满足 axb 或 axb 的全体实数 x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作 a，b)，(a，b 这里的实数 a 与 b 叫做区间的端点 实数集 R 可以用区间(，)表示，符号“”读作“无穷大” ， “”读作 “负无穷大” ， “”读作“正无穷大” 我们可以把满足 xa，xa，xb，xb 的全 体实数 x 的集合分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b) 区间的几何表示如下表所示： 定义名称符号数轴表示 x|axb 闭区间a，b x|axb开区间(