《数学人教b必修1第三章3.2.2 对数函数～3.2.3 指数函数与对数函数的关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教b必修1第三章3.2.2 对数函数～3.2.3 指数函数与对数函数的关系（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.23.2.2 对数函数对数函数3.2.33.2.3 指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系 1对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数 ylogax(a0，a1，x0)叫做对数函数，其中 x 是自 变量，函数的定义域是(0，) (2)对于对数函数的概念应注意以下三个方面： 定义域：因为对数函数 ylogax 是由指数函数 yax变化而来的，对数函数的自变 量 x 恰好对应指数函数的函数值 y，所以对数函数 ylogax 的定义域是指数函数 yax的值 域，即 x(0，) 底数：对数函数 ylogax 的底数 a0，且 a1. 形式上的严格性：在对数函数的定义表达式 yl
2、ogax(a0，且 a1，x0)中， logax 前面的系数必须是 1，自变量 x 在真数的位置上，否则不是对数函数 【例 1】下列函数是对数函数的序号是_ (1)y4x；(2)ylogx2；(3)ylog3x；(4)ylog0.4；(5)ylog(2a1)x x ；(6)ylog2(x1) 1 ,1 2 aax 且，是自变量 解析：解析：根据对数函数的定义，只有严格符合 ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才 是对数函数，其中 x 是自变量，a 是常数易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对 数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中是对数函数；(4)式中 31 3 =log=l
3、ogyxx 是对数函数；(5)中对数的底数 2a1 是一个大于 0 且不等于 1 的 2 0.4 0.4 loglogyxx 常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只是自变量 x，而是关于 x 的表 达式 x1，故不是对数函数由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数 答案：答案：(3)(4)(5) 点技巧点技巧 利用概念准确判断对数函数 判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征，三者缺一不 可 2对数函数 ylogax(a0，a1，x0)的图象与性质 (1)在同一直角坐标系中作出函数 ylog2x，ylog3x，的图象， 1 2 =logyx 1 3 =lo
4、gyx 如图所示，观察图象可以看出：这些图象都在 y 轴右侧，且向 y 轴的正、负方向无限延 伸；图象都经过点(1,0)；函数 ylog2x 和 ylog3x 的图象从左向右逐渐上升；函数 和的图象从左向右逐渐下降 1 2 =logyx 1 3 =logyx (2)对数函数 ylogax(a0，a1，x0)的图象和性质 0a1a1 图象 定义域：(0，)来源:来源: 值域：R 图象过定点(1,0)，即 x1 时，y0 性质来 源: 在(0，)上是减函数在(0，)上是增函数 析规律析规律 对对数 logax 的值的符号判断 由表格中的关系易知：当 a，x 在同一个区间(0,1)或(1，)取值时，
5、logax0；当 a，x 分别取自不同的区间(0,1)和(1，)，logax0，简记为“同正，异负” 【例 21】函数 ylog11x 的定义域和值域分别是( ) AR，R BR，(0，) C(0，)，R D(0，)，(0，) 解析：解析：函数 ylog11x 的定义域是(0，)，值域是 R. 答案：答案：C 【例 22】图中的曲线 C1，C2，C3，C4都是对数函数 ylogax 的图象已知 a 取 3,2，四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4的 a 的值依次是( ) 1 3 1 5 A3,2， B3,2， 1 3 1 5 1 5 1 3 C2,3， D2,3， 1 3 1 5 1 5
6、1 3 解析：解析：方法 1：当 a1 时，自左向右看，图象上升；当 0a1 时，自左向右看，图 象下降 又当 a1 时，a 越大，图象向右越靠近 x 轴；0a1 时，a 越小，图象向右越靠近 x 轴，所以曲线 C1，C2，C3，C4的 a 的值依次为 2,3，. 1 5 1 3 方法 2：作直线 y1，设 C1，C2，C3，C4与直线 y1 的交点分别为(a1,1)，(a2,1)， (a3,1)，(a4,1)，由图象知：a3a41a1a2.所以 a1，a2，a3，a4的值分别为 2,3，. 1 5 1 3 答案：答案：D 3反函数 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函
7、数的自变量，而 把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数 一般地，如果函数 yf(x)存在反函数，那么它的反函数通常用 yf1(x)表示，反函数 也是函数，它具有函数的一切特性反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互 为反函数 (1)对数函数的反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数 (2)互为反函数的两个函数之间的关系 原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； 互为反函数的两个函数的图象关于直线 yx 对称 (3)函数 yf(x)的反函数的求法 确定原函数的值域因为函数是由定义域和对应法则构成的，一个
8、函数的反函数是 对换原函数的自变量和因变量而得到的新函数，新函数的自变量就是原函数的因变量，新 函数的定义域就是原函数的值域，因此，只有确定了原函数的值域，才能确定新函数的定 义域 把原函数 yf(x)视为方程，用 y 表示出 x.因此 y 是新函数的自变量，x 是它的函数 值 把 x，y 互换，同时标明反函数的定义域因为我们习惯用 x 表示自变量，用y 表示 函数值，所以把 x，y 互换而反函数的定义域就是原函数的值域 也可简记为：反解互换求定义域 析规律析规律 理解反函数应注意的三点 (1)只有一一映射确定的函数才有反函数如一次函数 ykxb(k0)、反比例函数 y (k0)、指数函数 y
9、ax(a0，且 a1)、对数函数 ylogax(a0，且 a1)，它们都是一 k x 一映射确定的函数，因此都有反函数；像二次函数 yax2bxc(a0)，在整个定义域上 没有反函数，因为关于对称轴 x对称的两个不同自变量对应同一函数值，它不是一 b 2a 一映射下的函数，所以没有反函数 (2)反函数也是函数，是相对而言的，一个函数与它的反函数互为反函数 (3)互为反函数的两个函数，它们的图象关于直线 yx 对称，因此，如果原函数的图 象经过定点(a，b)，则其反函数的图象经过定点(b，a)对数函数 ylogax(a0，且 a1) 与指数函数 yax(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于
10、直线 yx 对称，且 ylogax(a0，且 a1)的图象经过定点(1,0)，而 yax(a0，且 a1)的图象经过定点 (0,1) 【例 31】函数的反函数是( ) 1 2 =1 logyx Ay2x B 1 = 2 x y Cylog2x Dy21x 解析：解析：由，得且值域为 R，所以. 1 2 =1 logyx 1 2 log=1x y 1 1 = 2 y x 以 x 代 y，以 y 代 x，得.故选 D. 1 1 = 2 x y 答案：答案：D 【例 32】若函数 yf(x)的反函数的图象过点(1,5)，则函数 yf(x)图象必过点( ) A(5,1) B(1,5) C(1,1) D
11、(5,5) 解析：解析：由于原函数与反函数的图象关于 yx 对称，而点 (1,5)关于直线 yx 的对称点为(5,1)，所以函数 yf(x)的图象必经过(5,1) 答案：答案：A 【例 33】已知函数 f(x)1lg x(x0)，f(x)的反函数为 f1(x)，则 f(1)f1(1) _. 解析：解析：令 yf(x)1lg x，y1lg x. x10y1.f1(x)10x1. f(1)f1(1)(1lg 1)10112. 答案：答案：2 4对数函数的解析式及求值问题 对数函数的解析式 ylogax 中仅含有一个参数 a，则只需要一个条件即可确定对数函 数的解析式，这样的条件往往是已知 f(m)
12、n 或图象过点(m，n)等等通常利用待定系数 法求解，设出对数函数的解析式 f(x)logax，利用已知条件列方程求出常数 a 的值 利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如 logamn，这时先把 对数式 logamn 化为指数式的形式 anm，把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式 mkn，则 解得 ak0.还可以直接写出，再利用指数幂的运算性质化简. 1 = n a m 1 n m 例如：解方程 loga42，则 a24，由于 4 2.所以 a ，又 a0，所以 a .当 ( 1 2) 1 2 1 2 然，也可以直接写出，再利用指数幂的运算性质，得21 . 1 2 4a
13、1 2 4a 1 2 2 (2 ) 1 2 【41】已知 f(ex)x，则 f(5)( ) Ae5 B5e Cln 5 Dlog5e 解析：解析：方法 1：令 tex，则 xln t， 所以 f(t)ln t，即 f(x)ln x所以 f(5)ln 5. 方法 2：令 ex5，则 xln 5，所以 f(5)ln 5. 答案：答案：C 【例 42】已知对数函数 f(x)的图象经过点，试求 f(3)的值 1 ,2 9 分析：分析：设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出 解：解：设 f(x)logax(a0，且 a1)， 对数函数 f(x)的图象经过点， 1 ,2 9 . 11 =log
14、=2 99 a f . 2 1 = 9 a . 1 1 2 2 2 111 = 933 a . 1 3 ( )=logf xx . 1 11 33 1 (3)=log 3=log= 1 3 f 5对数函数的定义域、值域的应用 (1)利用对数函数的定义域、值域求形如 yf(logax)(a0，且 a1)型的函数的定义域 和值域 对于函数 yf(logax)(a0，且 a1)，由于对数函数 ylogax 的定义域是(0，)， 值域是 R，则利用换元法，设 logaxt，则Error!的解集是 f(logax)的定义域，函数 f(t)(tR)的 值域就是 f(logax)的值域 (2)利用对数函数的定义域、值域，求形如 ylogaf(x)(a0，且 a1)的函数的定义域、 值域 对于函数 ylogaf(x)(a0，且 a1)，由于对数函数 ylogax 的定义域是(0，)， 因此满足 f(x)0 的解集是函数 logaf(x)的定义域设 uf(x)，求出函数 uf(x)的值域 E， 则函数 ylogau(uE)的值域是函数 logaf(x)的值域 【例 51】求下列函数的定义域：(1)ylogx1(5x)；(2). 0.1 = log(43)yx
