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1、第6章 离散信号与系统的域分析,6.1 引言 6.2 变换 6.3 Z逆变换 6.4 离散系统的Z域分析,在连续系统的分析中，通过将输入信号f(t)分解成基本信号的线性组合办法，可以把时域中复杂的卷积积分运算，转化为频域、复频域中的简单乘法运算。 与此对应，连续系统的数学模型也由时域中的微（积）分方程转化成频域、复频域中的代数方程。这个步骤可以用图6-1（a）来描述。离散系统的分析也是这样，通过求f(n)的Z变换转化为Z域、频域中的代数方程。图6-1（b）描述了这一过程。,6.1 引言,返回,6.2.1 从拉普拉斯变换到变换 离散时间信号的Z变换，可以由抽样信号的拉氏变换推导出来。设连续时间信
2、号为f(t)，利用 函数的筛选特性，在， ，0， 瞬间抽样，则抽样函数 可表示为对抽样函数 取拉氏变换令复变函数 ，式中 则,6.2 变换,下一页,返回,这是对抽样序列 的Z变换式。对于任何一个离散时间序列f(n)的Z变换式。对于任何一个离散时间序列f(n)，其变换式定义为 上式称双边Z变换。 若f(n)是因果序列，则总会有一个起始时刻（设为n=0），若满足f(n)=0(n0)，则上式可写作上式称单边Z变换。 在实际中，多数序列具有因果性，亦称为有起因序列，所以，这里主要讨论单边Z变换。,6.2 变换,下一页,返回,上一页,Z变换可简单记作 离散序列f(n)的变换是复变数 的幂级数，其系数是f
3、(n)的样值。 f(n)的Z变换展开式6.2.2 Z变换的收敛域 Z变换的定义式是一个无穷级数，只有当级数收敛时，Z变换才有意义，因此研究Z变换的收敛域是非常重要的。所谓F(z)的收敛域是指使和式 存在的复变函数Z的集合。在Z平面（复平面）内,6.2 变换,下一页,返回,上一页,式中，复数的幅值 ，幅角 。则和式为如果能找到三个正数M， ， 满足不等式并使和式 为有限值，其充分必要条件是和 即,6.2 变换,下一页,返回,上一页,式中， 是由 的右边序列f(n)的形式确定， 是由n0， 则,6.2 变换,下一页,返回,上一页,若m=0且n0，则6. 初值定理 初值定理适用于右边序列，即适用于n
4、M（M为整数时），f(n)=0的序列。 如果序列在n0（M=0）时，f(n)=0，它与象函数的关系为,6.2 变换,下一页,返回,上一页,则序列的初值7. 终值定理 终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得序列。 若序列f(n)=0，nM（M为整数时），,6.2 变换,下一页,返回,上一页,设 则 由于上式是取 的极限，因此，终值定理要求z=1在收敛域 内，这是 存在。 以上七条性质在变换求解中是极为重要的，熟悉这七条性质，并灵活应用将对运算起到简化作用。,6.2 变换,返回,上一页,求F(z)的Z逆变换，就是由象函数F(z)求原序列f(n)的问题。一般而言，双边序列
5、f(n)可分为因果序列 和反因果序列 ，即 式中， 为因果序列； 为反因果序列。 相应地，其Z变换也分为两部分其中,6.3 Z逆变换,下一页,返回,当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域可以求得 和 ，并分别求得它们所对应的原序列 和 ，然后按线性性质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(n)。 6.3.1 部分分式展开法 在离散系统中，经常遇到的象函数是Z的有理分式，它可以写为式中 ，A(z)、B(z)分别为F(z)的分母和分子多项式。,6.3 Z逆变换,下一页,返回,上一页,根据代数学，只有真分式才能展开为部分分式。因此，当m=n时，还不能将F(z)直接展开，通常可以将 展开，然后
6、再乘以z；或者先从F(z)分出常数项，再将余下的真分式展开为部分分式。 将 展开，设F(z)极点 均单阶 则 其中 有 因此,6.3 Z逆变换,下一页,返回,上一页,注意：若v有重根，可用部分分式法，但是，最好用留数法（反演积分法）。 6.3.2 幂级数展开法（长除法） 根据Z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是 和z的幂级数。因此，按照给定的序列可将 和 展开为幂级数6.3.3 围线积分法 围线积分法式根据复变函数的柯西定理，借助于留数定理，,6.3 Z逆变换,下一页,返回,上一页,把Z逆变换的积分定义式表示为围线c内。 由 及 可得 其中，C是含F(z)极点的逆时针封闭线,6.3
7、 Z逆变换,返回,上一页,6.4.1 差分方程的Z变换求解方法 设LTI系统的激励与响应为f(n)，y(n)，描述N阶系统的后向差分方程的一般形式为其中， 设上式中n=0，则系统的初始状态为y(-1)，y(-2)， 令Zy(n)=Y(z)，Zf(n)=F(z)，根据单边Z变换的时移特性，右移i个单位。则Z变换为,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,那么在n0时f(n)=0，因此f(n-j)的Z变换为求解可得其中,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,上一页,由上式可以看出，第一项与初始状态有关，而与输入状态无关，因而是零输入响应的象函数，设为 ；第二项仅与初始状态有关，因而是零状态响
8、应的象函数，设为 。因此取上式的逆变换，得系统的全响应 其中,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,上一页,6.4.2 单位响应和系统函数 描述一阶系统的差分方程比较简单，而单位响应是零状态响应，对于因果系统，当时n0，有h(n)=0，故可以用迭代法求出h(0)，h(1)，h(n)。 6.4.3 系统函数的零、极点与系统特性 1. 系统函数的零、极点 n阶LTI系统的系统函数的定义为,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,上一页,其中， ， 均为实常数（i=0,1,2,，n；j=0,1,2,，m），其中 。 A(s)和B(s)都是s的有理多项式，因而能求得多项式等于零的根。其中，A(s
9、)的根 称为系统函数H(s)的极点；B(s)=0的 根称为系统函数H(s)的零点。 于是将H(s)的零点、极点绘在z平面上，用“ ”表示零点，用“ ”表示极点，就得到系统的零极图。,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,上一页,对于高阶零、极点，可在图的相应位置表明阶数。 2. 系统函数的零、极点与时域响应 若H(s)的极点均为一阶极点，H(s)可以部分分式展开，即则 3. 系统函数的零、极点与频域响应 如果系统函数H(z)的极点均在单位圆内，那么它在单位圆上也收敛，可知，系统的频率响应函数,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,上一页,式中， ， 为角频率， 为取样周期。在z平面上，
10、复数可以用矢量表示， 令式中 ， 分别为差矢量的模， ， 是它们的幅角，于是式中幅频响应为,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,上一页,相频响应为当 从0变化到 时，即复变量z从z=1沿单位圆逆时针方向旋转一周时，各矢量的模和幅角也随之变化，因此，可以得到幅频和相频响应曲线。 4. 系统函数的稳定性 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，简称为稳定系统，也就是说，设 、 为正实常数，如果系统对于所有的激励,6.4 离散系统的Z域分析,下一页,返回,上一页,其零状态响应 则成该系统是稳定的。 对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数H(z)的极点都在z平面的单位圆内；其逆也成立，即若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。 用系统函数H(z)的零、极点判断系统的稳定性时，对于有些系统失效。如果系统既是可观测又是可控制的，那么用描述输出与输入关系的系统函数研究系统的稳定性是有效的。,6.4 离散系统的Z域分析,返回,上一页,图6-1,返回,（a） （b）,
