偏微分方程偏微分方程主讲：赵志红本课程要求 y 平时成绩占 30分，期末考试占 70分； y 每周周一交作业，由课代表课前收齐放到讲台上 y 答疑安排：双周周一晚 7： 00-9： 00，学楼 103 y E-mail: zzh_math@第一章方程的导出及定解问题的提法 y 基本概念 y 几个经典方程 y 定解问题一、基本概念1.1 什么是偏微分方程12(,,, )nxxx x= null 自变量12() ( , , , )nux ux x x= null 未知函数偏微分方程：凡含有多元未知函数及未知函数关于自变量的偏导数的关系式 .偏微分方程 ：凡含有多元未知函数及未知函数关于自变量的偏导数的关系式12111212(,, ,, ,, ,, )0nmn mmmnnnuu uFx x uxxxxxmm m m∂ ∂∂=∂∂∂∂∂=+++nullnullnullnullnull，偏微分方程的 一般形式 :1.2 偏微分方程的介绍偏微分方程的介绍偏微分方程反映了变量 u和多个自变量 x之间的相约关系物理学 、 力学、工程技术等自然科学，经济学、人口学等社会科学中很多重要变量关于时间 、 空间及其他因素的变化规律常常通过偏微分方程来描述。
偏微分方程反映了变量 和多个自变量 之间的相约关系物理学 、 力学、工程技术等自然科学，经济学、人口学等社会科学中很多重要变量关于时间 、 空间及其他因素的变化规律常常通过偏微分方程来描述微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程这些著作当时没有引起多大注意微积分方程这门学科产生于十八世纪， 欧拉 在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家 达朗贝尔 也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程这些著作当时没有引起多大注意1.3 偏微分方程的起源偏微分方程的起源1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科年， 达朗贝尔 在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔 ·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容 .和欧拉同时代的瑞士数学家 丹尼尔 贝努利 也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响 拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献这里应该提一提法国数学家傅立叶 ，他年轻的时候就是一个出色的数学学者在从事热流动的研究中， 1822年发表了《热的解析理论 》， 在文章中他提出了三维空间的热传导方程，也就是一种偏微分方程他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的在从事热流动的研究中， 年发表了《热的解析理论 》， 在文章中他提出了 三维空间的热传导方程 ，也就是一种偏微分方程他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的1.4 偏微分方程的发展偏微分方程的发展现在偏微分方程相关理论及其方法已经应用到各个自然科学，工程技术领域和社会科学领域中。
现在偏微分方程相关理论及其方法已经应用到各个自然科学，工程技术领域和社会科学领域中由于其特殊的地位，偏微分方程现在是数学领域中最活跃，最核心的领域之一在菲尔兹奖获得者中与偏微分方程研究相关的，就有十位左右的数学家由于其特殊的地位，偏微分方程现在是数学领域中最活跃，最核心的领域之一在菲尔兹奖获得者中与偏微分方程研究相关的，就有十位左右的数学家千禧年大奖难题，又称世界七大数学难题，其中之一就是纳维叶－斯托克斯 (Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性千禧年大奖难题，又称世界七大数学难题，其中之一就是纳维叶－斯托克斯 方程的存在性与光滑性PDE的阶 所含有的未知函数最高阶导数的阶数 . PDE的解古典解广义解 (弱解 )是指满足方程，并且在所考虑的区域内有 m阶连续偏导数的函数 .线性 PDE非线性 PDE半线性 PDE拟线性 PDE完全非线性 PDE12 nmm m m= +++nullPDE的分类偏微分方程: Partial Differential Equation (PDE)偏微分方程: quation (PD 线性 PDE： PDE中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的例如：21,1 1111(,, ) (,, ) (,, )(,, )nnij nij jijjn n njubx x cx xu fx xxuax xxx==∂∂∂=∂∂++∑∑nullnullnullnull,,,ij jabcf其中 是给定的函数.,,ij jabc系数 均为常数.常系数线性 PDE:否则称为变系数的 PDE．齐次线性 PDE: 0f ≡ .否则称为非齐次的．线性 PDE的主部 : 具有最高阶数偏导数组成的部分 .主部(1).sin( ) 0uxy ux∂+=∂线性 PDE(2).线性 PDE(3). sintxuu u+=非线性 PDE(4).222() ( )txuuu+ = 非线性 PDE22222cosxuuaettx∂∂=+∂∂PDE维数： 是指方程中出现的 空间坐标 的个数。
例如： 在上一页的例子中(1) 是二维的， (2), (3), (4) 都是一维的如果方程中不出现时间 t, 则称方程为 定常的 ,非定常的 .例如： 在上一页的例子中(1) 是定常的， (2), (3), (4)都是非定常的1).sin( ) 0uxy ux∂+ =∂(2).(3).sintxuu u+ = (4).222() ( )txuuu+=22222cosxuuaettx∂∂=+∂ ∂否则称为拟线性 PDE: 在非线性方程中 , 如果关于未知函数的所有最高阶偏导数是线性的 . 例如：22(1 ) 2 (1 ) 0yxx xyxy xyuu uuu uu+ −++=30tt xxuu u− +=0t x xxxuuuu+ +=拟线性 PDE的一般形式：11||(,, , ) (,, , ) 0,mmmaxuDu D uDubxuDu D uααα−−=+ =∑nullnull11,(:|| ).nknD Du Du kxxαααααα∂===∂∂其中null拟线性 PDE主部： 在拟线性 PDE中 , 由最高阶偏导数组成的那一部分半线性 PDE： 在拟线性 PDE中 , 如果主部的系数是常数或者是自变量的已知函数。
例如30tt xxuu u− +=0t x xxxuuuu+ +=半线性 PDE的一般形式：11||1() (,, , ) 0,,(:|| ).nmmknaxDubxuDu D uDDuDukxxααααααααα−=+=∂===∂∂∑其中nullnull1.5 叠加原理偏微分方程可用偏微分算符来表示 .偏微分方程可用 偏微分算符 来表示引入以下算符引入以下算符以二阶线性偏微分方程的为例来说明叠加原理 . 以 二阶线性偏微分方程 的为例来说明叠加原理2,1 1nnij iij iij iLa b cxx x==∂∂= ++∂∂ ∂∑∑一般含 n个自变量的二阶线性偏微分方程可写为以下形式：一般含 个自变量的二阶线性偏微分方程可写为以下形式：2,1 1nnij iij iij iuuabcufxx x==∂∂+ +=∂∂ ∂∑∑则上述方程可以写成下面的形式则上述方程可以写成下面的形式Lu f=1. 齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解若 Lu1= 0 ， L u2= 0，则： L (au1+ bu2)= 0.2. 非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解若 Lu1=f， L u2= 0，则： L (u1+ u2)= f.齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解若 ， ，则：非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解若 ， ，则：3. 两个非齐次方程的解的线性组合为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。
若 Lu1= f1， L u2= f2，则： L (au1+ bu2)= af1+ bf2设 满足方程的解， 为常数，而级数一致收敛且能够逐项微分两次，则 u满足方程此处要求级数 一致收敛iui(1,2,3,)null=iiLu f i( 1,2,3, ),null==ici( 1,2,3, )null=1iiiucu∞==∑,Lu f=1iiifcf∞==∑线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理特别是，如果 是二阶线性齐次方程( 1,2,3, )iui= null0Lu =的解 , 则只要 一致收敛， 且可以逐项微分两次 ,1iiiucu∞==∑则 u一定也是此方程的解 .叠加原理使得以后在使用分离变量法时能够将分离变量法得到的线性无关的解叠加在一起, 然后去构造原问题的解.叠加原理 使得以后在使用分离变量法时能够将分离变量法得到的线性无关的解叠加在一起, 然后去构造原问题的解.小结小结二、几个经典方程 y波动方程 y均匀弦的微小横振动方程 y推广 y热传导方程 y一维热传导方程 y推广 y稳定场方程2.1 弦振动方程 y 弦的特点： 匀、细、软、紧的一根弹性细线 y 振动特性：微小的、横向振动：在一个平面内弦上各点的运动方向垂直于最初的平衡位置 . “微小的”是指弦上各点的位移与弦的长度相比很小 , 弦的纵向伸长可以忽略不计 . y 考虑一根拉紧的长为 l 的弦，线密度 ρ , 以弦的平衡位置所在直线为 x 轴，并以弦的左端点为坐标原点，则右端点的坐标为 l。
求它在平衡位置附近做微小的横向振动的规律t2时的动量 - t1时的动量 =[t1, t2]内外力产生的冲量动量守恒律取弦的平衡位置为 ox 轴，运动平面为 xou在时刻 t ，弦线在 x点的位移为 u(x, t)a, b两点受力图示o[,],ab利用 微元法 建立方程：在任一时刻 t，任取一小段弦 它弧长为21dbxasu=+∫ z弦在微弦段 [a, b]上的微小振动过程中 不伸长 . z由 Hooke定律知 弦上每点张力 T与时间无关 .210dbax≈+∫ba= −弦段在 x 轴方向所受力平衡：cos cos .aabbTTα α=cos cos .aabbTTα α=21cos1tanaaαα=+211xx au==+1,≈21cos1tanbbαα=+211xx bu==+1,≈于是有： .abTTT== z弦上每点张力 T与 x 也无关 , 张力 T 恒为常数 .sin tanaaTTα α≈ y T 在 [ t1, t2 ]内产生的冲量：a, b 处张力 T 在 u 轴方向的分量为：(,),xTu a t=−sin tanbbTTα α≈ (,).xTu b t=( )21(,) (,)dtxxtTu bt u at t−∫ y [ a, b ]的动量变化为：( )21(, ) (,)dbttauxt uxt xρ −∫ y 在点 x 处 t 时刻外力密度为 F(x, t), 则 F(x, t)在微弦段[ a, b ]上 [ t1, t2 ]内产生的冲量21(,)ddtbtaF xt x t∫∫由动量守恒律有( )21(,) (,)dtxxtTu bt u at t=−∫(。