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1、第2章 随机变量的分布及其数字特征,随机变量 分布函数,离散型随机变量及其分布,连续型随机变量及其分布,正态分布,随机变量函数的分布,随机变量的数字特征, 2.1.1 随机变量 (Random Variable)为了更有效地研究随机现象的规律，需要引入微积分作为工具，这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子例2.1 某人抛掷一枚色子，观察出现的点数。 试验结果的事件表达形式：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点。 如果令 表示出现的点数，则 的可能取值为 于是，试验结果的变量表示为：“出现1点” ； “出现2点”“出现3点” ； “出现4点”“出现
2、5点” ； “出现6点”,2.1 随机变量 分布函数,例2.2 某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。试验结果的事件表达形式：国徽面在上面；有字面在上面如果 表示国徽面在上面， 表示有字面在上面。则试验结果的变量表示为：“国徽面在上面”“有字面在上面” 特点：试验结果数量化了，试验结果与实数建立了对应关系，而且变量取值随着试验结果的变化而变化。,定义1： 设 是一随机试验，其样本空间为 ，如果对于 中的每一个样本点，都有一个实数 与之对应，并且 满足：（1） 是由 唯一确定； （2）对任意给定的实数 ，集合 都表示一个有概率的事件。则称 为一随机变量(Random Variable)。,
3、设 为一个随机变量，对于任意实数 ，则集合 是随机事件，随着 变化，事件 也会变化。 这说明该事件是实变量 的“函数”。 随机变量 与高等数学中函数的变量有所不同。 （1）自变量的取值是可以在函数的定义域内随便指定，随机变量的取值只能在其取值范围内由试验的具体结果确定，具有偶然性； （2） 的定义域是样本空间，值域是实数轴。 随机变量的本质特性是其取值具有不确定性，在未试验之前无法确知它取哪个值。, 随机变量举例与分类例2.3 某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数 的可能取值为 。例2.4 某个灯泡的使用寿命 的可能取值为 。例2.5 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数 的可能取值为 。例2.6
4、 为在 区间上随机移动的点，该点的坐标 的可能取值为 。从随机变量取值的有限无限个，及方式的可列不可列的角度来看，随机变量可做如下分类：,有限或无穷可列取值,无穷且不可列取值, 2.1.2 分布函数(Distribution Function),随机变量的概率分布定义2： 能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。概率分布的常用表达方式有：分布函数（“通用型”）；概率函数或概率密度函数（“针对型”）。,分布函数概念定义3： 设 为随机变量， 为任意实数，则 称为随机变量 的分布函数，其定义域为 。显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率。,是一个实函数！,（1）
5、对于任意 ，有 （非负有界性）；（2） （规范性）；（3）对于任意 有 （非减性）；（4） 在每一点至少是右连续的（连续性）。,若已知随机变量 的分布函数 ，则对于任意 有,分布函数的性质,例2.7 已知随机变量 的所有可能取值为 ，取各值的概 率分别为 ，试求随机变量的分布函数并作其图像。,解：由题设随机变量的概率分布为,由分布函数的定义有当 时， ；当 时， 当 时，；当 时， 。分布函数图像如图2.1所示,图2.1, 2.2 离散型随机变量及其分布, 2.2.1. 离散型随机变量,定义1：如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变 量称为离散型随机变量。定义2：设离散型随机变量
6、 的所有可能取是 ，而取值 的概率为 ，即有则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下表表达：并称其为随机变量 的概率分布列，简称分布列。还可以通过作图直观表示，称为随机变量的概率分布图或概率函数图 。,图中线的高度为 取值于该点的概率值。 注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列或分布图表示，概率函数与分布列，分布图是等效的，概率函数比分布列表示简便，而分布图则更直观。,概率函数的两个基本性质:,（1） （非负性） （2） （归一性）。,例2.8 设袋中有五个球，3个白球2个黑球。从中任取两球，以表示取到的黑球数。求其概率函数及其概率分布函数。解：
7、 的可能取值为 分别表示事件“没有取到黑球”、“取到一个黑球”、 “取到两个黑球”，则其概率函数,当 时，,；,当 时，,当 时，,当 时，,所以， 的分布函数为,概率函数和分布函数用于描述随机变量的变化规律，它们之间的关系为：,已知概率函数求分布函数,例2.9 设随机变量的概率函数为。求常数 的值。 解：由于 故而,已知分布函数求概率函数, 2.2.2 常见的离散型随机变量的概率分布,引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型即概率分布来表达。,1.等概分布,设 为离散型随机变量，若其分布列为：,则 称服从等概分布。该分布满足：,
8、(1) 非负性：,(2) 规范性：,2.两点分布（0-1分布）若随机变量 的分布表为其中 ，则称 服从参数为 的两点分布。记作 。 两点分布所能刻画的随机现象：凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以两点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。,例如，投一枚均匀的骰子，观察向上面的点数，用 表示向上面的点数，则 服从 的等概分布。,二项分布的概率函数就是二项式 展开式中的通项（这里 ），所以称之为二项分布。分布中，当 时，就是两点分布，其概率函数为,(1) 非负性：,则称 服从参数为 的二项分布（Binomial distri
9、bution），记为,若离散型随机变量 的概率函数为：,3.二项分布,显然，二项分布的概率函数满足：,(2) 规范性：,例2.10 设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰好有3门课及格的概率和至少有3门课及格的概率。解: 设 表示该学生恰好有3门课及格；表示该学生至少有3门课及格。 显然，这是一个5重贝努里概型，从而有,凡是 重贝努里概型中随机事件 发生次数的概率分布规律都可用二项分布来刻画。,例2.11 某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概
10、率。解: 设 表示10个索赔要求中被盗索赔要求的个数，则于是，所求概率为即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059 通过该例题的求解，可以看出：二项分布当参数 很大，而 很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家S. D. Poisson 提出了以下定理。,Poisson定理 设随机变量 ， 若 时，有 ，则有证明：令 ，于是有对于固定的 有所以,实际应用中：当 较大, 较小， 适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。例2.12 某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，
11、独立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。解: 400次上街400重Bernoulli概型；记 为出事故的次数，则 。由于 ，所以由Poisson定理有, 4泊松（Poisson）分布,若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的泊松分布，记为 。,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则该人成功的概率为 。这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！,显然，泊松分布的概率函数 满足：,：,(1) 非负性：,；,(2) 规范性：,泊松分布所能刻画随机现象：服务台在某时间段内接待的服务次数；交换台在某时间段内接到呼叫的次数；矿井在某段时间发生事故的次数；显微镜下相同大小的方格内
12、微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目；单位时间内市级医院急诊病人数；一本书中每页印刷错误的个数。特别注意: 体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数 可以由观测值的平均值求出。,这时，如果直接计算 ，计算量很大。由于 很大， 很小，可利用泊松分布（ ）近似计算。,解：设患有该种疾病的人数为随机变量 ，则 故，,例2.13 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位现有职工5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5人的概率有多大？,（设 时),(1) 非负性：,都是正整数，且为参数，则称 服从参数为 的超几何分布，记作 。显然，它的概率函数式满足：,设离散型随机变量 的概率函数为：, 5超几何分布,(2) 规范性：,成立，则称 为连续型随机变量。 为连续型随机变量 的概率密度函数，简称密度函数。,Def 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在非负的可积函数 ，使得对任意的 ，有,2.3 连续型随机变量及其分布, 2.3.1 连续型随机变量,可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。随机变量的概率密度函数具有如下两条基本性质：,
