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1、【成才之路成才之路】2015-2016】2015-2016 学年高中数学学年高中数学 第二章第二章 推理与证明综合检推理与证明综合检 测测 新人教新人教 A A 版选修版选修 2-22-2 时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的特点,按此规律,则第 100 项为( ) A10 B14 C13D100 答案 B 解析 设nN*,则数字n共有n个, 所以100 即n(n1)200, nn1 2 又因为nN N*,所以n13,
2、到第 13 个 13 时共有91 项,从第 92 项开始为 13 14 2 14,故第 100 项为 14. 2有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手, 甲说:“是乙或丙获奖 ”乙说:“甲、丙都未获奖 ”丙说:“我获奖了 ”丁说:“是乙 获奖 ”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是( ) A甲B乙 C丙D丁 答案 C 解析 若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的 情况,最后可知获奖的歌手是丙 3(2015枣庄一模)用数学归纳法证明“1 1)”时, 1 2 1 3 1 2n1 由nk(k1)不等式成立,推证nk1 时,左边应增加的
3、项数是( ) A2k1B2k1 C2kD2k1 答案 C 解析 左边的特点是分母逐渐增加 1,末项为; 1 2n1 由nk时,末项为到nk1 时末项为,应增加的项数 1 2k1 1 2k11 1 2k12k 为 2k. 故选 C. 点评 本题是基础题,考查用数学归纳法证明问题的第二步,项数增加多少问题, 注意表达式的形式特点,找出规律是关键 4下列说法正确的是( ) A “a0” ,故 B 错; C 正确; D 中pq为假命题,则p、q中至少有一个为假命题,故 D 错 5(2014东北三校模拟) 下列代数式(其中kN N*)能被 9 整除的是( ) A667kB27k1 C2(27k1)D3(
4、27k) 答案 D 解析 特值法:当k1 时,显然只有 3(27k)能被 9 整除,故选 D. 证明如下: 当k1 时,已验证结论成立, 假设当kn(nN N*)时,命题成立,即 3(27n)能被 9 整除,那么 3(27n1) 21(27n)36. 3(27n)能被 9 整除,36 能被 9 整除, 21(27n)36 能被 9 整除, 这就是说,kn1 时命题也成立 故命题对任何kN N*都成立 6已知f(n) ,则( ) 1 n 1 n1 1 n2 1 n2 Af(n)中共有n项,当n2 时,f(2) 1 2 1 3 Bf(n)中共有n1 项,当n2 时,f(2) 1 2 1 3 1 4
5、 Cf(n)中共有n2n项,当n2 时,f(2) 1 2 1 3 Df(n)中共有n2n1 项,当n2 时,f(2) 1 2 1 3 1 4 答案 D 解析 项数为n2(n1)n2n1,故应选 D. 7已知abc0,则abbcca的值( ) A大于 0B小于 0 C不小于 0D不大于 0 答案 D 解析 解法 1:abc0, a2b2c22ab2ac2bc0, abacbc0. a2b2c2 2 解法 2:令c0,若b0,则abbcac0,否则a、b异号, abbcacab0,排除 A、B、C,选 D. 8已知c1,a,b,则正确的结论是( ) c1ccc1 AabBab CabDa、b大小不
6、定 答案 B 解析 a, c1c 1 c1c b, cc1 1 cc1 因为0,0, c1ccc1 所以0,所以a0),观察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x) x x2 x x2 ,f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x),根据以上事实,由 x 3x4 x 7x8 x 15x16 归纳推理可得:当nN N*且n2 时,fn(x)f(fn1(x)_. 答案 x 2n1x2n 解析 观察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见,fn(x)的分子为x,分母中 x的系数比常数项小 1,常数项依次为 2,4,8,162n.故fn(x). x 2n1x2n 15(2
7、0142015厦门六中高二期中)在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角, 那么截下的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有c2a2b2.设想正方形换成 正方体,把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN, 如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积,S表示截面面积,那么类比得到的结论是 _ 答案 S2SSS 2 12 22 3 解析 类比如下: 正方形正方体; 截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥;直角三角形 斜边平方三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的 平方和,结论S2SSS. 2 12 22 3 证明如下:如图,作OE平面L
8、MN,垂足为E,连接LE并延长交MN于F, LOOM,LOON,LO平面MON, MN平面MON,LOMN, OEMN,MN平面OFL,SOMNMNOF,SMNEMNFE,S 1 2 1 2 MNLMNLF,OF2FEFL,S (MNOF)2(MNFE)(MNFL)S 1 22OMN 1 2 1 2 1 2 MNESMNL,同理S SMLESMNL,SSNLESMNL,SS 2OML2ONL2OMN S(SMNESMLESNLE)SMNLS,即SSSS2. 2OML2ONL2MNL2 12 22 3 16(20142015洛阳部分重点中学质量检测)观察下列等式: 1, 3 1 2 1 2 1
9、22 1, 1 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 1 3 22 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 5 3 4 1 23 ,由以上等式推测到一个一般的结论:对于nN N* *, 1 4 23 3 1 2 1 2 4 2 3 _. 1 22 n2 nn1 1 2n 答案 1 1 n12n 解析 由已知中的等式: 1 3 1 2 1 2 1 22 1, 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 1 3 22 1, 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 5 3 4 1 23 1 4 23 所以对于nN N* *, 1. 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 n2 nn1 1 2
10、n 1 n12n 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 17(本题满分 12 分)已知:a、b、cR R,且abc1. 求证:a2b2c2 . 1 3 证明 由a2b22ab,及b2c22bc,c2a22ca. 三式相加得a2b2c2abbcca. 3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2. 由abc1,得 3(a2b2c2)1, 即a2b2c2 . 1 3 18(本题满分 12 分)我们知道,在ABC中,若c2a2b2,则ABC是直角三角 形现在请你研究:若cnanbn(n2),问ABC为何种三角形?为什么? 解析
11、 锐角三角形 cnanbn (n2),ca, cb,由c是ABC的最大边, 所以要证ABC是锐角三角形,只需证角C为锐角,即证 cosC0. cosC, a2b2c2 2ab 要证 cosC0,只要证a2b2c2, 注意到条件:anbncn, 于是将等价变形为:(a2b2)cn2cn. ca,cb,n2,cn2an2,cn2bn2, 即cn2an20,cn2bn20, 从而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbn a2(cn2an2)b2(cn2bn2)0, 这说明式成立,从而式也成立 故 cosC0,C是锐角,ABC为锐角三角形 19(本题满分 12 分)(2015吉林市实验中学高二
12、期中)椭圆与双曲线有许多优美的对 称性质对于椭圆1(ab0)有如下命题:AB是椭圆1(ab0)的不平 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则kOMkAB为定值那么对于双曲线 b2 a2 1(a0,b0),则有命题:AB是双曲线1(a0,b0)的不平行于对称 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 轴且不过原点的弦,M为AB的中点,猜想kOMkAB的值,并证明 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则有Error! kOM,kAB, y0 x0 y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 即kOMkAB. y1y2
13、y1y2 x1x2x1x2 y2 1y2 2 x2 1x2 2 将A、B坐标代入双曲线方程1 中可得: x2 a2 y2 b2 1 x2 1 a2 y2 1 b2 1 x2 2 a2 y2 2 b2 得:, x2 1x2 2 a2 y2 1y2 2 b2 ,即kOMkAB. y2 1y2 2 x2 1x2 2 b2 a2 b2 a2 20(本题满分 12 分)若x0,y0,用分析法证明:(x2y2) (x3y3) . 1 2 1 3 证明 要证(x2y2) (x3y3) , 1 2 1 3 只需证(x2y2)3(x3y3)2, 即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6, 即证 3x4y23y4x22x3y3. 又因为x0,y0,所以x2y20, 故只需证 3x23y22xy. 而 3x23y2x2y22xy成立, 所以(x2y2) (x3y3) 成立 1 2 1 3 21(本题满分 12 分)已知函数f(x)ax(a1) x2 x1 (1)证明:函数f(x)在(1,)上为增函数; (2)用反证法证明方程f(x)0 没有负数根 解析 (1)证法 1:任取x1、x2(1,),不妨设x10,ax2x11 且ax10, ax2ax1ax1(ax2x11)0, 又x110,x210, x22 x21 x12 x11 x22x11x12x21 x11x21 3x2x1