《2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教a版选修2-2（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【成才之路成才之路】2015-2016】2015-2016 学年高中数学学年高中数学 第二章第二章 推理与证明综合检推理与证明综合检 测测 新人教新人教 A A 版选修版选修 2-22-2 时间 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特点，按此规律，则第 100 项为( ) A10 B14 C13D100 答案 B 解析 设nN*，则数字n共有n个， 所以100 即n(n1)200， nn1 2 又因为nN N*，所以n13，
2、到第 13 个 13 时共有91 项，从第 92 项开始为 13 14 2 14，故第 100 项为 14. 2有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手， 甲说：“是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“是乙 获奖 ”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( ) A甲B乙 C丙D丁 答案 C 解析 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的 情况，最后可知获奖的歌手是丙 3(2015枣庄一模)用数学归纳法证明“1 1)”时， 1 2 1 3 1 2n1 由nk(k1)不等式成立，推证nk1 时，左边应增加的
3、项数是( ) A2k1B2k1 C2kD2k1 答案 C 解析 左边的特点是分母逐渐增加 1，末项为； 1 2n1 由nk时，末项为到nk1 时末项为，应增加的项数 1 2k1 1 2k11 1 2k12k 为 2k. 故选 C. 点评 本题是基础题，考查用数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题， 注意表达式的形式特点，找出规律是关键 4下列说法正确的是( ) A “a0” ，故 B 错； C 正确； D 中pq为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故 D 错 5(2014东北三校模拟) 下列代数式(其中kN N*)能被 9 整除的是( ) A667kB27k1 C2(27k1)D3(
4、27k) 答案 D 解析 特值法：当k1 时，显然只有 3(27k)能被 9 整除，故选 D. 证明如下： 当k1 时，已验证结论成立， 假设当kn(nN N*)时，命题成立，即 3(27n)能被 9 整除，那么 3(27n1) 21(27n)36. 3(27n)能被 9 整除，36 能被 9 整除， 21(27n)36 能被 9 整除， 这就是说，kn1 时命题也成立 故命题对任何kN N*都成立 6已知f(n) ，则( ) 1 n 1 n1 1 n2 1 n2 Af(n)中共有n项，当n2 时，f(2) 1 2 1 3 Bf(n)中共有n1 项，当n2 时，f(2) 1 2 1 3 1 4
5、 Cf(n)中共有n2n项，当n2 时，f(2) 1 2 1 3 Df(n)中共有n2n1 项，当n2 时，f(2) 1 2 1 3 1 4 答案 D 解析 项数为n2(n1)n2n1，故应选 D. 7已知abc0，则abbcca的值( ) A大于 0B小于 0 C不小于 0D不大于 0 答案 D 解析 解法 1：abc0， a2b2c22ab2ac2bc0， abacbc0. a2b2c2 2 解法 2：令c0，若b0，则abbcac0，否则a、b异号， abbcacab0，排除 A、B、C，选 D. 8已知c1，a，b，则正确的结论是( ) c1ccc1 AabBab CabDa、b大小不
6、定 答案 B 解析 a， c1c 1 c1c b， cc1 1 cc1 因为0，0， c1ccc1 所以0，所以a0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x) x x2 x x2 ，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由 x 3x4 x 7x8 x 15x16 归纳推理可得：当nN N*且n2 时，fn(x)f(fn1(x)_. 答案 x 2n1x2n 解析 观察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见，fn(x)的分子为x，分母中 x的系数比常数项小 1，常数项依次为 2,4,8,162n.故fn(x). x 2n1x2n 15(2
7、0142015厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角， 那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2a2b2.设想正方形换成 正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN， 如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是 _ 答案 S2SSS 2 12 22 3 解析 类比如下： 正方形正方体； 截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形 斜边平方三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的 平方和，结论S2SSS. 2 12 22 3 证明如下：如图，作OE平面L
8、MN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F， LOOM，LOON，LO平面MON， MN平面MON，LOMN， OEMN，MN平面OFL，SOMNMNOF，SMNEMNFE，S 1 2 1 2 MNLMNLF，OF2FEFL，S (MNOF)2(MNFE)(MNFL)S 1 22OMN 1 2 1 2 1 2 MNESMNL，同理S SMLESMNL，SSNLESMNL，SS 2OML2ONL2OMN S(SMNESMLESNLE)SMNLS，即SSSS2. 2OML2ONL2MNL2 12 22 3 16(20142015洛阳部分重点中学质量检测)观察下列等式： 1， 3 1 2 1 2 1
9、22 1， 1 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 1 3 22 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 5 3 4 1 23 ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN N* *， 1 4 23 3 1 2 1 2 4 2 3 _. 1 22 n2 nn1 1 2n 答案 1 1 n12n 解析 由已知中的等式： 1 3 1 2 1 2 1 22 1， 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 1 3 22 1， 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 5 3 4 1 23 1 4 23 所以对于nN N* *， 1. 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 n2 nn1 1 2
10、n 1 n12n 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 17(本题满分 12 分)已知：a、b、cR R，且abc1. 求证：a2b2c2 . 1 3 证明 由a2b22ab，及b2c22bc，c2a22ca. 三式相加得a2b2c2abbcca. 3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2. 由abc1，得 3(a2b2c2)1， 即a2b2c2 . 1 3 18(本题满分 12 分)我们知道，在ABC中，若c2a2b2，则ABC是直角三角 形现在请你研究：若cnanbn(n2)，问ABC为何种三角形？为什么？ 解析
11、 锐角三角形 cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大边， 所以要证ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证 cosC0. cosC， a2b2c2 2ab 要证 cosC0，只要证a2b2c2， 注意到条件：anbncn， 于是将等价变形为：(a2b2)cn2cn. ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2， 即cn2an20，cn2bn20， 从而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbn a2(cn2an2)b2(cn2bn2)0， 这说明式成立，从而式也成立 故 cosC0，C是锐角，ABC为锐角三角形 19(本题满分 12 分)(2015吉林市实验中学高二
12、期中)椭圆与双曲线有许多优美的对 称性质对于椭圆1(ab0)有如下命题：AB是椭圆1(ab0)的不平 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOMkAB为定值那么对于双曲线 b2 a2 1(a0，b0)，则有命题：AB是双曲线1(a0，b0)的不平行于对称 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 轴且不过原点的弦，M为AB的中点，猜想kOMkAB的值，并证明 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有Error! kOM，kAB， y0 x0 y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 即kOMkAB. y1y2
13、y1y2 x1x2x1x2 y2 1y2 2 x2 1x2 2 将A、B坐标代入双曲线方程1 中可得： x2 a2 y2 b2 1 x2 1 a2 y2 1 b2 1 x2 2 a2 y2 2 b2 得：， x2 1x2 2 a2 y2 1y2 2 b2 ，即kOMkAB. y2 1y2 2 x2 1x2 2 b2 a2 b2 a2 20(本题满分 12 分)若x0，y0，用分析法证明：(x2y2) (x3y3) . 1 2 1 3 证明 要证(x2y2) (x3y3) ， 1 2 1 3 只需证(x2y2)3(x3y3)2， 即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6， 即证 3x4y23y4x22x3y3. 又因为x0，y0，所以x2y20， 故只需证 3x23y22xy. 而 3x23y2x2y22xy成立， 所以(x2y2) (x3y3) 成立 1 2 1 3 21(本题满分 12 分)已知函数f(x)ax(a1) x2 x1 (1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)0 没有负数根 解析 (1)证法 1：任取x1、x2(1，)，不妨设x10，ax2x11 且ax10， ax2ax1ax1(ax2x11)0， 又x110，x210， x22 x21 x12 x11 x22x11x12x21 x11x21 3x2x1
