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1、扭转变形,2018/9/13,2,扭转（Torsion）,主要内容 扭转的概念与实例 外力偶矩的计算 扭矩与扭矩图 薄壁圆筒的扭转 纯剪切 圆轴扭转的应力与变形,2018/9/13,3,一、扭转的概念与实例,扭转力 学模型,2018/9/13,4,一、扭转的概念与实例,扭转（Torsion)杆件两端受到一对大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的外力偶作用，表现为杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。,2018/9/13,5,二、外力偶矩的计算 扭转与扭矩图,1、外力偶矩（Me）与功率、转速的关系,2018/9/13,6,二、外力偶矩的计算 扭转与扭矩图,2、扭矩（T） 在外力偶矩
2、 Me作用下，扭转构件横截面产生的的内力,2018/9/13,7,右手螺旋法则四指表示扭矩的转向，拇指指向截面时扭矩为负，背离截面时为正。,扭矩的正负号规定,2018/9/13,8,截面2-2上的内力：,扭矩的计算法则,扭矩T=左部外力偶矩左向为正的代数和； 扭矩T=右部外力偶矩右向为正的代数和。,2018/9/13,9,3、扭矩图受扭构件各横截面上的扭矩沿轴线方向的变化图,当构件同时作用有多个外力偶时，应分段用截面法求出各截面扭矩。通过扭矩图可以直观地确定最大扭矩的位置，并确定危险截面。,2018/9/13,10,【例1】图示传动轴，主动轮A输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分
3、别为PB= PC 11kW，PD=14kW，轴的转速n=300rpm 。试画轴的扭矩图。,【解】 求作用在轴上的外力偶矩,2018/9/13,11, 计算横截面上的扭矩,-截面取左段,-截面取左段,-截面取右段,扭矩图,若将A、D轮位置对调,2018/9/13,12,三、薄壁圆筒的扭转 纯剪切,1、 薄壁圆筒的扭转实验,2018/9/13,13,【实验现象】圆周线形状大小不变，相邻两圆周线发生相对转动，距离不变；各纵向平行线仍然平行，但倾斜一个微小角度。,2018/9/13,14,【推断】各横截面上没有正应力，只有剪应力；因为壁厚很小，沿筒壁厚度剪应力不变；由轴对称性，横截面上剪应力沿圆环处处
4、相等。,2018/9/13,15,2、 薄壁圆筒的扭转切应力,用假想截面从n-n处截开圆筒，取左段，如图。横截面上各点的应力相同。,由静力平衡条件，横截面上的内力系对x轴之矩与外力偶平衡，即,2018/9/13,16,在横截面上取微面积dA，其上的微内力为dA，各点的微内力对x轴之矩方向相同，大小为,2018/9/13,17,薄壁圆筒横截面上的剪应力分布,r为薄壁圆筒横截面中线的半径。,2018/9/13,18,用两个横截面和两个纵向面从圆筒中取出一个单元体,3、切应力互等定理,在一对相互垂直的微面上，与棱线正交的切应力成对存在，大小相等，方向共同指向或背离棱线切应力互等定理,由静力平衡方程,
5、2018/9/13,19,4、纯剪切单元体上只有剪应力没有正应力的现象,5、切应变单元体互相垂直的两个棱边的夹角的改变量,2018/9/13,20,6、剪切胡克定律,剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。,根据扭转试验结果，在弹性范围内，外力偶矩与扭转角成正比，即,2018/9/13,21,6、剪切胡克定律,G ,对各向同性材料，三个弹性常数G、E 的关系,G剪切弹性模量,2018/9/13,22,7、 等直圆杆扭转时的应变能,对处于纯剪切应力状态的单元体，若左侧面不动，此时的切应力t 仅发生在竖直平面内且只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移g dx上作功
6、。,在线弹性范围内，有,2018/9/13,23,单元体内蓄积的应变能dVe数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVe=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为,由剪切胡克定律t =Gg，该应变能密度的表达式可写为,2018/9/13,24,四、圆轴扭转的应力与变形,应力分析方法,应变分布,应力分布,应力公式,平面假设,物性关系,变 形,静力方程,2018/9/13,25,1、平面假设及变形几何关系,2018/9/13,26,1、平面假设及变形几何关系,2018/9/13,27,切应变的变化规律横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离成正比。距圆心等距离的所有点处的
7、切应变都相等。切应变发生在垂直于半径的平面内，,1、平面假设及变形几何关系,式中 表示扭转角沿轴长的变化率,称为单位扭转角，在同一截面上，=常数。,2018/9/13,28,切应力分布规律横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比。距圆心等距离的所有点处切应力都相等。切应力与半径垂直。,2、物性关系与应力分布,2018/9/13,29,由切应力互等定理，在纵向截面和横截面上，沿半径方向切应力呈线性分布。,2、物性关系与应力分布,2018/9/13,30,3、静力平衡方程,距离圆心为处的微面积dA上的微扭矩为,2018/9/13,31,GIP抗扭刚度,IP 截面对形心的极惯性矩,令,得,3、
8、静力平衡方程,距圆心为处的任意点的切应力计算公式,2018/9/13,32,Wt 扭转截面系数 单位：m3或cm3,在圆截面边缘上，为最大值R时，切应力最大,其中,2018/9/13,33,4、圆轴扭转时的强度条件,许用扭转切应力与许用拉应力的关系,2018/9/13,34,5、截面的极惯性矩与扭转截面系数计算, = d / D,实心圆截面,空心圆截面（圆环截面）,2018/9/13,35,【解】（1）计算扭矩,由截面法,轴所受的外力偶矩为,【例2】图示AB轴传递的功率为P=7.5KW，转速n=360r/min。AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。D=3cm，d=2cm。求AC和CB段的最
9、大与最小切应力。,（2）计算极惯性矩,2018/9/13,36,（3）计算应力,AC段轴在横截面边缘处的切应力为,CB段轴在横截面内、外边缘处的切应力为,2018/9/13,37,【解】（1）计算扭矩,（2）求截面直径,解得,【例3】已知P7.5kW, n =100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求 实心轴的和空心轴的直径d1，D2,实心轴直径,2018/9/13,38,解得,=1.28,空心轴比实心轴重量轻，节省材料,空心轴直径,2018/9/13,39,五、圆轴扭转的应力与变形,对图示dx 微段，其扭转角,长为L的等直圆轴，积分得,1、扭转角圆轴扭转
10、时两横截面间的相对角位移,单位：rad,2018/9/13,40,五、圆轴扭转的应力与变形,1、扭转角圆轴扭转时两横截面间的相对角位移,若轴在各段内的扭矩T不同，或是变截面轴（如阶梯轴），则两端截面的相对扭转角是轴内各段扭转角的代数和,2018/9/13,41,2、圆轴扭转时的刚度条件,单位长度的扭转角,或,单位： /m,单位：rad/m,圆轴扭转的刚度条件,2018/9/13,42,【例5】 图示传动轴，n=500r/min， P1 =500马力， P2=200马力， P3=300马力，已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。试确定AB和BC段直径。,【解】（1）计算外力偶矩,作扭矩图，
11、如图所示。,2018/9/13,43,（2）计算直径,AB段：由强度条件,由刚度条件,取,2018/9/13,44,BC段：强度条件得,由扭转刚度条件得,取,2018/9/13,45,扭转的静不定问题,例6 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力，,解：,（1）静力学关系,（2）变形协调条件,2018/9/13,46,（3）物理关系：,代入变形协调方程，得补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得,2018/9/13,47,（5）最大剪应力,杆1：,管2：,2018/9/13,48,六、 圆柱形密圈
12、螺旋弹簧的应力和变形,螺旋弹簧如图。当螺旋角 5时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。,2018/9/13,49,1. 求簧杆横截面上的内力,对于密圈螺旋弹簧，近似簧杆的横截面就在外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内，由截面法：,剪力 FS =F 扭矩 T =FD/2,2018/9/13,50,2. 求簧杆横截面上的应力,簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力1，与扭矩T 相应的切应力2，且：,1通常远小于2，故在求近似解时将前者略去。因为d(D)，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。,2018/9/13,51,在簧丝横截面
13、内侧A点有,其中,对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，d/D的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。,K=1+d/2D,2018/9/13,52,密圈弹簧丝的强度条件,弹簧的变形,当弹簧所受外力F不超过一定限度时变形D与外力F成线性关系。,2018/9/13,53,于是外力所作的功为,不计FS的影响，并忽略簧杆的曲率，簧杆内的应变能Ve为,式中l =2pRn，表示簧杆轴线的全长，Ip为簧杆横截面的极惯性矩。根据能量守恒原理 W= Ve ，即,如令 ，则有 ，式中k 为弹簧 的刚度系数(N/m)。,2018/9/13,54
14、,七 非圆截面杆扭转的概念,工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其它形状的截面，下面简要介绍矩形截面.,2018/9/13,55,杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”,横截面上剪应力规律如下：,对非圆截面扭转，平面假设不再成立。,边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。,max发生在矩形长边中点处，次大剪应力发生在短边中点,四个角点处剪应力 =0,2018/9/13,56,本章小结,1、通过对受扭薄壁圆筒的分析引入： (1) 纯剪切单元体和剪应力及剪应力互等定理； (2) 剪应变和剪切胡克定律 它们是研究圆轴扭转时应力和变形的理论基础，也是材料力学中重要的基本概念和基本规律。 2、在平面假设下，利用上述基本概念和规律得到圆轴扭转：剪应力公式,2018/9/13,57,变形公式,强度条件,刚度条件,作业,3.1（c）、3.9 3.11、3.19 3.23、3.27,2018/9/13,59,本章结束,
