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1、主讲教师:冉扬强,量子力学,课程三,主要内容 第二章 波函数与薛定谔方程 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程1. 定态和定态薛定谔方程2. 定态的特点 2.6 一维无限深势阱,第二章 波函数与薛定谔方程 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律在低能（非相对论）情况下，不存在粒子的产生和湮没现象，所以，在随时间变化的过程中，粒子的数目将始终保持不变，这就是粒子数守恒。就一个粒子而言，在整个空间中找到粒子的几率之和不随时间改变，它总是等于1，此即为粒子数守恒。事实上，粒子数守恒与几率守恒是同一物理实质的两种不同说法。下面将看到几率守恒定律自动地包含在薛定谔方程之中。,在 时刻在
2、 处找到粒子的几率密度为：对时间 求导，并利用薛定谔方程得到矢量 称为几率流密度矢量。这就是连续性方程，称为几率守恒定律的微分表达式。为了说明的物理意义将上式对空间区域 积分得,左端交换积分与求导的次序，右端使用高斯定理得为 的表面。上式左端代表单位时间内在体积 中找到粒子的几率的增量，而右端应表示单位时间内通过表面 流入体积 的几率，所以 具有几率流密度矢量的意义，,因此， 称为几率流密度矢量。上式为量子力学中几率守恒定律的积分形式。将上式中的 扩展到整个空间，在无穷 远边界处，不可能再有几率流进，从而所以有这表示在整个空间内找到粒子的几率与时间关，即整个空间内的粒子数不随时间而变化（粒子数
3、守恒）。如果波函数是归一化的，则归一化不随时间变化。在物理上表示粒子既不能产生，也不能湮没。,以粒子质量分别乘 ，则为粒子的质量密度和质量流密度，可得质量 守恒定律以粒子电荷 e 分别乘 ，则 为粒子的电荷密度和电流密度，可得到电荷 守恒定律,2.5 定态薛定谔方程 1. 定态和定态薛定谔方程根据薛定谔方程，只要给定体系的初始状态的波函数 后，原则上可以确定以后任意时刻的状态 ，但是，一般情况下，由初态的 求 并非易事。以下讨论一种极其重要的特殊情况：势能 与时间无关的情况，此时可用分离变量法求薛定谔方程的特解。令特解为代入薛定谔方程，分离变量得,在上式的波函数中，其角频率为 ，由德布罗意假设
4、可得，E正是相应量子,态的能量。波函数 称为定态波函数，它所描述的状态叫定态，方程（*）称为定态薛定谔方程。薛定谔方程还可以用哈密顿算符表示定态薛定谔方程可表示为,从数学上讲，对于任何 E 值，定态薛定谔方程都有解，但并非所得出的解都满足物理上的要求。这些要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体物理情况而提出的，这样，往往只要某些 E 值所对应的解，才满足物理上的要求，这些 E 值称为体系的能量本征值，而相应的波函数 称为能量本征函数，定态薛定谔方程就是粒子的能量本征方程。2. 定态的特点 (1).对于定态,若在初始时刻（ t = 0 ）体系处于,某一能量本征态 ，则即在初始时刻
5、能量取确定值，则在以后任意时刻能量的取值都不改变。 (2). 在定态中，粒子在空间的几率密度和几率流密度不随时间而改变。 (3).若任何力学量（不显含时间 t ）在定态中的平均值不随时间变化。 (4).若在初始时刻体系并不处于某一能量本征态，而是若干能量本征态的迭加,则任何时间的波函数为这种状态称为非定态。2.6 一维无限深势阱下面应用定态薛定谔方程处理几个典型的一维问题，先讲一维无限深势阱。金属中的自由电子，原子中的束缚电子，原子核中的质子和中子，均被限制在有限空间范围内运动。一维无限深势阱可以看成是这些情况的理想模型。,讨论粒子在阱宽为 的一维无限深势阱中运动，势阱可表示为在 的区域（阱外
6、），因粒子不能越过无穷高势阱，故在 - a x a 的区域，其定态薛定谔方程为：令 ，,由波函数的连续性得边界条件：,由归一化条件得：取 A 为实数得,由归一化条件得：取 A 为实数得,综上可得：,讨论： 1）、能量量子化：粒子在一维无限深势阱中运动的能量本征值是间断取值的，是量子化的，称为分离谱。能级不等间距 。 2）、零点能：体系能量最低的状态称为基态，基态能量常被称为零点能。对于一维无限深势阱中运动的粒子的零点能为这与经典粒子不同，是微观粒子波粒二重性的表现。基态以上的态称为激发态，如n = 2的态称为第一激发态，余类推。,3）、束缚态。由于当 时 ，粒子不能出现在无穷远处，把粒子在有限空间范围内运动的状态称为束缚态。一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数，一般来说，束缚态的能量为分离谱。 4）、波函数的节点。除无穷远点和端点外，波函数为零的点称为节点。基态波函数(n =1)无节点，第一激发态为(n =2)有一个节点，第 k 激发态 (n = k+1)有 k 个节点。,5）、波函数在全空间连续，但微商在 处不连续。 6）、求解定态薛定谔方程的一般步骤： 分区写出相应的薛定谔方程。 将方程无量纲化。 求通解。 由波函数满足的标准条件以及边界条件确定出通解中的常数和能量的可能值（能级），以及相应的定态波函数。 归一化 讨论所求解的物理意义,
