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1、,第十二章 能量法,12-2 杆件应变能的计算,12-1 概述,12-3 单位载荷法 莫尔积分,12-4 图形互乘法,12-5 互等定理,12-6 卡氏定理,12-1 概 述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能(应变能)。物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即： V=W,12-2 杆件变形能的计算,一、轴向拉伸和压缩,二、扭转,三、弯曲,纯弯曲：,横力弯曲：,-近似忽略剪切变形能,四、组合变形,截面上存在几种内力，各种内力及其位移相互独立，力的独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。,
2、五、外力功的一般表达形式,1.载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量，称为载荷的相应位移。,2.基本公式,广义力,广义位移,广义力与广义位移的相应关系：,六、应变能的一般形式,适用圆截面杆,非圆截面杆,(不考虑扭转),例,解：,已知: BD杆外径90mm，壁厚2.5mm，杆长l=3m。E = 210 GPa。BC是两条钢索，每根截面积172 mm2，E1= 177GPa。 P = 30kN , 不考虑立柱变形。 求: B点垂直位移。,解三角形得： BC=l1=2.20 m, CD=1.55 m BC、BD的截面积分别为：A1344mm2, A=687mm2,取B点，受力如图：,取B点，受力如图：,
3、=1.41P,=1.93P,外力P所作的功等于BC及BD 杆的变形能，所以,解：,截面B的挠度与转角分别为,即外载荷所作的总功不能用叠加原理。,例：计算图示悬臂梁外力所作总功。弯曲刚度EI为常数。,解：,例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求 自由端B的挠度。,例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。,解：,例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。,例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。,解：,-使曲杆曲率增大的弯矩为正,例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的水平面。试求A点的垂直位移
4、。已知GIp、EI为常量。,解：,12-3 单位载荷法 莫尔积分,单位力作功,实际载荷作功,单位力在 上 又作功,共作功：,莫尔定理 莫尔积分,注意：上式中 应看成广义位移，把单位力看成与广义位 移对应的广义力。,莫尔积分,梁或刚架：,轴：,桁架：,注意：上式中 应看成广义位移，把单位力看成与广义位 移对应的广义力。,对于组合变形：,注意：上式中 应看成广义位移，把单位力看成与广义位 移对应的广义力。,莫尔积分,例：试用单位载荷法计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角.,(a),(a),(b),(c),例：图示刚架EI已知，试用单位载荷法计算图示梁横截面A的水平位移。,课堂练习：,q,例：
5、试用单位载荷法计算图所示梁截面A和B间的相对转角。,解：在A和B截面处加一对转向相反的单位力偶。,曲杆在单位力偶作用时内力：,曲杆在实际载荷F作用时内力：,截面A和B间的相对转角：,例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 AB ，EI=常数,解：,例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、。,解：,例：图示为一简单桁架，其各杆的EA相等。求在F作用下A、C点间的相对位移。,解：,先把桁架的杆件编号。,由静力学知识求出各杆轴力FNi,为了求AC ，在AC连线方向作用一对单位力。,单位力作用下各杆的轴力为,12
6、-4 图形互乘法,在应用单位载荷法求位移时，需计算莫尔积分：,对于等直杆，EI=常数，可以提到积分号外，故只需计算积分:,直杆的 图必定是直线或折线。,先按斜直线考虑：,以上对于水平直线 也成立。,这种将互乘函数的积分运算转化为函数图形几何量相乘的计算方法称为图乘法。,注意：,1.若 图为折线时，必须分段进行计 算，并以 图的转折点作为分段的交 界点；,2.若载荷弯矩图的形状比较复杂时，可 以将它划分为几个简单的图形，使每一 部分的图形的形心坐标都能较容易确定， 然后分别与 图图乘，再求和。,3.若载荷较多时，可把每个载荷单独作用下的弯矩图分别画出，分别与 图图乘，然后再求和；,4.规定当 图
7、与 图在 轴同侧时，图乘结果为正；若在 轴异侧时，图乘结果为负。,顶点,顶点,二次抛物线,解：,例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,1. 求B点挠度：,2. 求B点转角：,解：,例：试用图乘法求所示简支梁的 最大挠度和最大转角。,1. 求最大挠度：,2. 求最大转角：,解：,例：试用图乘法求所示简支梁的 最大挠度和最大转角。,1. 求最大挠度：,2. 求最大转角：,解：,例：试用图乘法求所示简支梁 C截面的挠度和A、B截面的 转角。,1.求C截面的挠度：,2. 求A截面转角：,3. 求B截面转角：,例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,解：,1.求B截面的挠度：,2.
8、求B截面转角：,例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。,解：,例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的X值；(2)集中力作用端转角为零时的X值。,解：(1),(2),例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知 GIp、EI为常量。,解：(1),(2),(3),例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。,解：,例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。,解：,例：图示刚架，EI=常数。求A截面的水平位移 AH 和转角A 。,解：,例
9、：图示开口刚架，EI=常数。求沿P力作用线方向的相对线位移 AB和A、B两截面的相对角位移 AB 。,解：,思考：,12-5 互等定理,载荷作用点,位移发生点,功的互等定理:,位移互等定理:,例：求图示简支梁C截面的挠度。,例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠度 。求梁在中点集中力P作用下(见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积 .,12-6 卡 氏 定 理,若 有一增量 ，则应变能的增量为,结构的应变能为,弹性结构应变能,所以,先作用 ，再作用 ，所作的功,此即卡氏第二定理，通常称为卡氏定理。,对于横力弯曲,对于桁架,例：用卡氏定理求图示开口圆环在 F 力作用下切口的张开量 。EI = 常数。,解：,例：图示刚架 E I 为常量。 用卡氏定理求截面 A 的水平位移 和垂直位移 。,由卡氏定理 求的是什么？,(A)截面 A 水平位移；(B)截面 A 垂直位移；(C)截面 A 水平位移和垂直位移的代数和；(D)截面 A 的总位移大小；(E)截面 A 沿合力方向 的位移。,想一想：,解：,例：曲杆BC 的轴线为四分之三的圆周，E I 为常量。AB 杆可视为刚体，求在 F 力作用下截面 A 的水平位移和垂直位移。,解：,能量方法(静定结构部分)结束！,
