《2.3向量间的线性关系-2(线性相关与无关)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.3向量间的线性关系-2(线性相关与无关)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、( 二 ) 线性相关与线性无关,例,很平常.,很凑巧.,称1, 2, 3线性相关,例,很平常.,只有当系数k1,k2,k3都是0 时,才有,即只有,没有很凑巧的情况.,称1, 2 , 3 线性无关.,有没有凑巧的情况？,对于向量组1, 2, ,s,成立,即只有当系数 k1=k2 = = ks= 0时,才有,则称向量组1, 2, , s 线性无关.,如果没有不全为0的k1,k2,ks,使,如果存在一组,k1,k2,ks,即只有平凡的关系式,成立，,不全为0的数,则称向量组1, 2, , s 线性相关.,定义3.6,使关系式,说明:对任意s个n 维向量,当系数k1=k2= = ks=0时,问:当k
2、1,k2 , ,ks不全为0时,若有k1,k2 , ,ks不全为0,若没有不全为0的k1,k2 , ,ks,则称1, 2,s线性无关.,称1,2,s,线性相关;,当然成立.,上式是否也可能成立?,使上式成立,使上式成立,例如,向量组1, 2线性相关.,只有当系数 k1= k2 =0时,才有,向量组1, 2 线性无关.,系数1,0,0,0不全为0,所以1,2 ,s线性相关.,一个向量组中若含有零向量，,例,则这个向量组必线性相关.,例,系数k,1,0,0不全为0,所以1,2 ,s线性相关.,一个向量组中,则这个向量组必线性相关。,若有两个向量的对应分量成比例，,1,2, ,s 线性相关,线性相关
3、.,1, 2,s 线性无关,线性无关.,例如：,=( 0,0,0 ),1,2线性相关.,线性相关.,讨论1, 2, , s 是否线性相关的步骤:,(1) 设,(2) 讨论k1,k2 , , ks的情况.,如果找到了 一组数,如果从(1)式出发,其中至少有一个不等于0,则1, 2,s 线性无关.,或者证明能找到,则1, 2, , s 线性相关;,使(1)式成立,最终推出,例 设,解 设,方程组(*)的系数行列式,(),方程组()只有零解,故只有当,(*)式才成立,所以1 ,2,3 线性无关.,(*),则,判断向量组1 ,2 ,3 的线性相关性.,时,例 设,解 设,方程组(*)的系数行列式,方程
4、组()有非零解,故存在不全为0 的,使(*) 式成立,所以1 ,2 线性相关.,判断向量组1 2 的线性相关性,(*),则,(),n维单位向量组,证 设,即,即,即,所以 1 ,2, ,n 线性无关.,线性无关,例 证明如果向量组 , , 线性无关,证 设, , 线性无关,=20,(*),方程组(*)只有零解, +, + ,+ 线性无关.,则,则 +,+ , + 也线性无关.,课堂练习 设,证明,证 设,即,只有当,时(*)式,才成立,所以1,2,n 线性无关.,线性无关.,是n个m 维向量,存在不全为0的数,存在不全为0的数,存在不全为0的数,齐次线性方程组(*),有非零解.,秩 (1,2,
5、n )n,(*),线性相关,使,使,使,1,2,n 线性相关,秩(1,2,n )n,1,2,n 线性无关,秩(1,2,n )= n,定理3.4 对于m维列向量组,线性相关与无关的一些判别方法：,行的情形:,定理3.4 对于n 维行向量组,1,2,m 线性相关,1,2,m 线性无关,例,解 ( 1 2 3 )=,1,2,3 线性相关,21 2+ 3 =0,判断向量组1 2 3 的线性相关性,只作行变换,只作行变换,例 判断向量组,1 2 3 线性相关,只作行变换,是否线性相关.,课堂练习 判断向量组, 1 2 3 线性无关.,是否线性相关.,r(1,2 n )n,1,2,n 线性相关,当 m n
6、 时,r(1,2 ,n ),推论 当向量组中所含向量的个数,1,2,n 线性相关,n是向量组所含向量的个数；,m是其中每个向量的维数.,此向量组一定线性相关.,大于向量的维数时,例如:,n+1个,n维向量,5个3维向量,线性相关,线性相关,线性相关,2个1维向量,3个2维向量,4个3维向量,线性相关.,线性相关.,r(1,2 n )n,1,2,n 线性相关,当向量组所含向量的个数 =,(12 ,n),其中每个向量的维数时,n个n维向量1,2,n线性相关,推论 n个n 维向量,线性相关的充分必要条件是,n个n 维向量,线性相关的充分必要条件是,推论 n个n 维向量,线性无关的充分必要条件是,n个
7、n维向量,线性无关的充分必要条件是,课堂练习,已知向量组,k为何值时,向量组,线性相关?线性无关?,解,当k=3或k= -2时,向量组,线性相关.,当k3且k -2时,向量组,线性无关.,定理3.5 如果向量组中,证: 设向量组,不妨设其中前r个向量,存在不全为零的数k1,k2,kr,使,系数:,不全为零,线性相关,至少一个不等于0,则整个向量组也线性相关.,线性相关,中有一部分,线性相关.,( 三 ) 关于线性组合与线性相关的定理,线性相关,有一部分向量(称为部分组),定理3.5 如果向量组中,逆否命题:,如果一个向量组线性无关,中有一部分线性相关,中任一部分,则其任意部分组也线性无关.,有
8、一部分向量(称为部分组),线性相关,则整个向量组也线性相关.,线性相关,线性无关,都线性无关,向量组1,2,s线性相关,存在一组不全为0的数,注意：,是向量组1,2,s 的线性组合,存在一组数,无不全为 0 的要求,如,可由1,2线性表示.,使,使,s个向量,存在s个不全为0的数,当s =1 时,1个向量1线性相关,存在1个,存在k10 使,同时k10,一个向量构成的向量组,即一个零向量线性相关,而一个非零向量线性无关.,不全为0的数k1,使,线性相关,使,线性相关,当s=2时,2个向量1,2线性相关,存在2个,不妨设k10 ,则,1,2的对应分量成比例.,两个向量线性相关,不全为0的数,s个向量,存在s个不全为0的数,使,线性相关,使,它们的对应分量成比例.,设,例 判断下列命题是否正确.,(1)对于向量组,使 成立,(2) 因为,所以,(3) 如果一个向量组线性相关,(4) 任意n+1个n 维向量均线性相关.,(5) 若向量组,如果存在一组数,1, 2线性相关,则向量组,则其任意部分组,则向量组,线性相关.,线性无关.,也线性相关.,也线性相关.,线性无关,作业 P167 6, 7 , 8, 9, 10, 11, 12,
