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1、第五节喜隐曰数的求导方河一、一个方程所确定的隐出数及其导数二、疗程组所确定的隐函数组及其导数留八章1节讨论:方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程“+于+C=0当C0时,不能确定隐函数;2)在方程能磊定隐函数时-研究其达绩佑、可微性及求导方法问题。回回2例1已知x:+-1=0“求生G墨解“对隐函数方程微分得:口一2xdx+2ydy=0“解得志=-三,UGr。7一般地,R(xr,y)=0确定隐函数y=7(x).对隐函数方程微分得:尸F翼缀翼+叠巍v=E去埋=】”(2)(2)式可作为公式使甩例2已知Inyx+7=arctan了习弩ys王Gr喜解伟F(x，y)=lnxz+y乏_arctan星，E
2、丁十了一一r则F(繁,y)=z十yz，F(工，y)_xz+yz，心_几止十了Cr历71设F(tjysz)一9确定隐丽数z=:z(ray)。(4)对隐函数方程微分得:R.dr+Pdy+F.dz=0,芒郝z=_F颢X_Fy咖逊az二_E，z=_Fy5PBr“。巴z(5)式可作为公式使用。(5)回回4一、一个方程所确定的隐画数及其导数馨1设出数F(x,)在点P(xo,Jo)的栋一邻域内满尸Q具有连续的偏导数;JF(ro,y0=0;F,(ro,y0)x0则方程F(xj0在炳易的树邰基内可唯一确定一个单值连续函数y=一(r),满足条件Jo=f(xo),并有连续导数性=怡(隐函数求导公式)dr又定理证明从
3、略,仅就求导公式推导如下:回回5设=个(x)为方程F(x,)=0所确定的隐函数,则暑FCeojfGog)=0l两边对x求导3F3FKdy_Dxade在Croy9的茉邹战内不丿0d_一dx4回回6若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,则还有国不暑二阶导数:/趸艾町5(,6(发渡dx20x,卫ay卫d囊xFR一F:R:FF一F“一H口fF夕戊叉R.F2-2F.,F.F+一,二一yx3扇y例1.验证方程sinJ+e*一xy-1=0在点(0,0)栋邻域可确定一个单值可导隐出数=万(x),并求Gdxlx=0“dx2lx=0解:令(r,y)=siny+e*一x一,则=e*y,一=cos-x连续,G)F(0,0)=0,(0,0)=1x0由定理1可知,在x=0的栋邻域内方程存在单值可导的隐函数=万(x),且回回8_6“一x=0“C0S一正=-1x二0,7=0aedx2lx二0“dxcosy-x|x=0了=0,工=一1_yJJ(eosy-x-(er-yCsiny.7-D|x-0(cosy-x7=0二3多=1回回导数的古一求法一利用隐函数求导工x=0匹1e一y-讨十E*一了一X外二0一一一|二一小0087了6一0cosy-一(0,0)|一达再对x求导=-siny.(3“+ces+e*一弛一3一J=0l令翼=0，注意此时y=0，y=一ld2yaalx=o7一弋二0回回10
