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1、高三二轮复习之四向量专题复习向量专题复习 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份双重身份”，使之成为中学数学知识的一个使之成为中学数学知识的一个“交汇点交汇点”，成为联系多项内，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使角度
2、、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性定性”研究推研究推向向“定量定量”研究。研究。一、向量的地位一、向量的地位二、考试要求二、考试要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。量的概念。2、掌握向量的加法与减法。、掌握向量的加法与减法。 3、掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。、掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，
3、掌握平面向量的坐标运算。念，掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。向量垂直的条件。 6、掌握平面两点间的距离方式，掌握线段的定比分点和、掌握平面两点间的距离方式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 三、高考考点回顾三、高考考点回顾其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和
4、运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如2004年浙江省卷第年浙江省卷第14题，题，2004年全国高考年全国高考理科第理科第3题，题，2004年全国高考年全国高考理科第理科第14题，题，2004年湖北高考理科解年湖北高考理科解答题中的第答题中的第19题。题。其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如2004年全年全国高考国高考理科第理科第9题，题，2004年广东高考第年广东高考第1题，题，2004年上年上海高考文科第海高考文科第6题等。题等。其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，其三是和其他知
5、识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力，如在考查向量与学科知识间综合运用能力，如在2002年全国年全国新课程卷上出现了与数列相结合的题目，新课程卷上出现了与数列相结合的题目，2004年福建高年福建高考第考第17题（与三角函数结合），题（与三角函数结合），2004年全国卷年全国卷理第理第21题（与解析几何结合）等；题（与解析几何结合）等； 四、向量公式回顾四、向量公式回顾1 1、共线定理：向量、共线定理：向量b b与非零向量与非零向量a a共线的充要条件是有且只共线的充要条件是有且只有一个实数有一个实数，使得，使得b b = =aa2、平面向量基本定理：如果、平面
6、向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1,2使使a =1e1+2e2 3、两个非零向量平行和垂直的充要条件：设、两个非零向量平行和垂直的充要条件：设4、向量的坐标运算：、向量的坐标运算：a = （x1，y1），），b=（x2，y2）则则 a + b = （x1+x2，y1+y2） a b = （x1- x2，y1- y2） ab= x1x2 + y1y2 a = （x1， y1）5、向量的数量积：、向量的数量积：ab = abcosaa = a2 =
7、a2 cos= a b / ab 6、两点间的距离公式：、两点间的距离公式：P1（x1，y1），），P2（x2，y2）7、线段的定比分点：、线段的定比分点：P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），P（x，y），则），则P分分P1P2为为，即，即P1P = PP2五、考点梳理五、考点梳理1、平面向量的基本概念和运算、平面向量的基本概念和运算例例1、已知、已知a 是以点是以点A(3,-1)为起点，且与向量为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量平行的单位向量，则向量a的终点坐标是的终点坐标是.注注 向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、向量的概念较多，且容易混淆，在学
8、习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。向量、反向向量、单位向量等概念。例例2 2、已知、已知| |a a|=1,|=1,|b b|=1|=1，a a与与b b的夹角为的夹角为6060, , x x =2=2a ab b，y y =3=3b ba a, ,则则 x x 与与 y y 的夹角是多少？的夹角是多少？练习、（练习、（20042004年全国卷）向量年全国卷）向量 a a、b,b,满足满足(a-b)(a-b)(2a+b)=(2a+b)=4,4,且且|a|=2,|b|=4,|a|=2,|
9、b|=4,则则a a与与b b夹角的余弦值等于夹角的余弦值等于 练习练习2 2、已知非零向量、已知非零向量a a、b b满足（满足（a - 2ba - 2b）a a，（，（b-2ab-2a）b b，则，则a a与与b b的夹角为的夹角为 。 练习练习3 3、（、（2004 2004 全国）已知全国）已知 a a、b b为交角为交角6060o o的单位向量，那的单位向量，那么么a+3b=a+3b= 。练习练习4 4、（、（2004 2004 重庆）已知向量重庆）已知向量a a与与b b的夹角为的夹角为6060o o，b=4b=4，（a+2ba+2b）（a-3ba-3b）= -72= -72，则向
10、量，则向量a a的模等于的模等于 。2、平面向量的几何意义、平面向量的几何意义例例2 2、若非零向量、若非零向量a a与与b b满足满足a+ba+b=a-b=a-b，则，则a a与与b b所成所成的角是的角是 。练习（练习（20042004年年 全国）已知向量全国）已知向量a a、b b满足：满足：|a|a|1 1，|b|b|2 2，|a|ab|b|2 2，则，则|a|ab|b|教材教材109109页页 例例5 5：OAOA、OBOB不共线，不共线，AP=AP=tABtAB，用，用OAOA、OBOB表示表示OPOP结论：等价命题：等价命题：OA、OB不共线，若不共线，若P、A、B三点共线的充要
11、三点共线的充要条件是条件是练习（练习（2003 2003 辽宁）已知四边形辽宁）已知四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，P P点在对角线点在对角线ACAC上（不包括端点上（不包括端点A A、C C），则），则APAP等于等于 A A、 B B、C C、 D D、练习：（练习：（2003 2003 全国）全国）O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平面上是平面上不共线的三个点，动点不共线的三个点，动点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的的A A外心外心B B内心内心C C重心重心D D垂心垂心3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算例例
12、3 3、（、（2004 2004 广东）已知平面向量广东）已知平面向量a=a=（3 3，1 1），），b=b=（x x，-3-3）且且abab，则，则 x=x=（ ）A. A. 3 B. 3 B. 1 C. 1 D . 31 C. 1 D . 3练习练习2 2（2004 2004 天津）天津） 已知向量已知向量a=a=（1 1，1 1），），b=b=（2 2，-3-3），），若若 ka-2b ka-2b 与与 a a 垂直，则实数垂直，则实数 k k 等于等于 练习练习3 3：（：（2004 2004 湖南）已知向量湖南）已知向量a=a=（coscos，sinsin）, ,向量向量 ，则，则2
13、a-b2a-b的最大值，最小值分别是的最大值，最小值分别是练习练习4 4：（：（2004 2004 上海）已知点上海）已知点A(1, A(1, 2),2),若向量若向量ABAB与与a=a=（2,32,3）同向）同向, , ,则点则点B B的坐标为的坐标为 4、平面向量与其他知识综合应用、平面向量与其他知识综合应用 当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数的综合问题。此类题的解题基础上，可以设计出有关函数的综合问题。此类
14、题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质利用向量数量积的公式和性质. .例例4 4、已知平面向量、已知平面向量（1 1）存在实数）存在实数k k和和t t，使得，使得 x = a + x = a + （t t2 2 3 3）b b， y = - k a + t by = - k a + t b，且，且xyxy，试求函数关系式，试求函数关系式 k=fk=f（t t）（2 2）根据（）根据（1 1）的结论，写出它的单调区间）的结论，写出它的单调区间练习：练习
15、： 已知向量已知向量a a( (x,xx,x4)4)，向量，向量b b(x(x2 2,3x/2), x,3x/2), x4,2.(1)4,2.(1)试用试用x x表示表示a ab b；22求求a ab b的最大值，并求此时的最大值，并求此时a ab b夹角的大小。夹角的大小。例例5 5（20022002年全国高考新课程卷）已知两点年全国高考新课程卷）已知两点M(M(1 1，0)0)，N(1 , 0)N(1 , 0)，且点，且点P P使使MPMPMNMN，PMPMPNPN，NMNMNPNP成公差小于零成公差小于零的等差数列的等差数列. .（）点）点P P 的轨迹是什么曲线？的轨迹是什么曲线？（）若点）若点P P坐标为（坐标为（x x0 0、y y0 0），记），记为为PMPM与与PNPN的夹角，求的夹角，求tantan. .
