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1、微分、积分和微分方程,实验四,定积分-连续求和,定积分-连续求和,三种方法计算数值积分,（1）定义法，取近似和的极限。 高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的 （2）用不定积分计算定积分。 不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿莱布尼兹公式联系在一起， （3）解微分方程计算定积分,微积分学基本定理,特别，F(b)-F(a) 就是所需的定积分. 在高等数学中总是期望求出不定积分的封闭解. 但数值积分是更有用的工具。 牛顿莱布尼兹公式不愧为微积分的“基本定理”。,基本定理的推广（解微分方程计算定积分）,
2、基本定理的推广（解微分方程计算定积分）,解微分方程的 Eular折线法,解微分方程的 Eular折线法,将区间n = 4等分（共有5个分点)；计算分点和相应的函数值 （x(1),x(2), x(3) x(4) x(5) （f(1),f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5) 在第一个子区间x(1),x(2)上，画出折线段 y(2)=y(1)+f(1)*(x-x(1)代替解曲线段y(x)， 这里y(1)=y0=0 折线段的起点为x(1), y(1)，终点为x(2),y(2). 运行exp4_1.m，观察第二、三、四子区间的情况。,符号微积分,用Matlab符号工具箱（Symbolic Tool
3、box）可以进行符号演算,符号微积分(创建符号变量）,sym var 创建单个符号变量； syms var1 var2 创建多个符号变量； f=sym(符号表达式) 创建符号表达式，赋予f； equ=sym(equation) 创建符号方程 。,符号微积分(极限）,limit(表达式,var,a)：求当var a，表达式的极限 例：求极限：,syms x a I1=limit(sin(x)-sin(3*x)/sin(x),x,0) 运行结果,符号微积分(求导）,diff(f,var,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量var 时，默认变量为x 可用来求单变量函
4、数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数,符号微积分(求导）,例：求,syms x y f=sym(exp(-2*x) * cos(3 * x(1/2) diff(f,x) 运行,符号微积分(求导）,syms x y g=sym(g(x,y) f=sym(f(x,y,g(x,y) diff(f,x) diff(f,x,2) 运行,例：求,符号微积分(积分）,int(f,var)：求函数f的不定积分； int(f, var, 积分下限，积分上限)： 求函数f的定积分或广义积分 例：求不定积分,syms x y z I1=int(sin(x*y+z),z),符号微积分(积分）,syms
5、x y z I2=int(1/(3+2*x+x2),x,0,1) I3=int(1/(3+2*x+x2),x,-inf,inf),符号微积分(化简、提取和代入),符号运算的结果比较繁琐，使用化简指令可对其进行化简。 但是不能指望机器可以完成一切，人的推理往往必须的。 常用的化简指令如下 展开指令：expand(表达式)； 因式分解：factor(表达式) 降幂排列：collect（表达式，var） ； 一般化简：simplify(A)；,符号微积分(化简、提取和代入),观察： 将展开(a+x)6-(a-x)6，然后作因式分解。 t_expand=expand(t) t_factor=facto
6、r(t_expand) t_simplify=simplify(t) 观察结果,数值微积分（梯形公式和辛普森公式）,trapz(x,y)，按梯形公式计算近似积分； 其中步长x=x0 x1 xn和函数值y=f0 f1 fn为同维向量， q = quad(fun,a,b,tol,trace,P1,P2,.) （低阶方法，辛普森自适应递归法求积） q = quad8(fun,a,b,tol,trace,P1,P2,.)（高阶方法，自适应法Cotes求积） 在同样的精度下高阶方法quad8要求的节点较少。,x,y=ode23(fun,tspan,y0,option) （ 低阶龙格库塔函数） x,y=o
7、de45(fun,tspan,y0,option) （高阶龙格库塔函数）,应用、思考和练习(追击问题),我缉私雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速v）追赶。 若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船， 缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？ 如果能追上，需要用多长时间？,应用、思考和练习(追击问题),应用、思考和练习(追击问题),r = dsolve(eq1,eq2, cond1,cond2, v) 方程的符号解 syms y d r xs1= dsolve(D2x=-r*sqrt(1+Dx2)/y,x(20)=0,Dx(20)=0,
8、y) xs=simplify(xs1) 运行结果，画彗星图,应用、思考和练习(追击问题),r = dsolve(eq1,eq2, cond1,cond2, v) 方程的符号解 syms y d r xs1= dsolve(D2x=-r*sqrt(1+Dx2)/y,x(20)=0,Dx(20)=0,y) xs=simplify(xs1) 运行结果，画彗星图,应用、思考和练习(追击问题，如果雷达失效),当缉私舰雷达发现d处有一走私船后，雷达突然损坏 若假定走私船作匀速直线运动（但不知方向），且缉私舰艇速度v大于走私船速度a， 则缉私舰应采用什么样的航行路线，不管走私船从哪个方向逃跑，都能追捕上它？
9、,实时动画制作（见实验10）,观察：模拟弹簧振动 讨论最简单的情形，一弹簧系统作横向运动，其位移由u=2+cos(t) 所决定， 仿真弹簧的振动,实时动画制作(初始化、见实验10）,程序讲解 animinit(onecart1 Animation) axis(-2 6 -10 10); hold on; u=2; xy= 0 0 0 0 u u u+1 u+1 u u; -1.2 0 1.2 0 0 1.2 1.2 -1.2 -1.2 0; x=xy(1,:);y=xy(2,:); plot(-10 20,-1.4 -1.4,k-,LineWidth,2); hndl=plot(x,y,k-,
10、EraseMode,XOR,LineWidth,2),实时动画制作(初始化、见实验10）zxy10-2,set(gca,UserData,hndl); for t=1:0.025:1000; u=2+exp(-0.00*t)*cos(t); x=0 0 0 0 u u u+1 u+1 u u; hndl=get(gca,UserData); set(hndl,XData,x,YData,y); drawnow end,电影动画制作（zxy7_3),moviein、 getframe、movie指令 x=-8:0.5:8; XX,YY=meshgrid(x); r=sqrt(XX.2+YY.2)
11、+eps; Z=sin(r)./r; surf(Z); %画出祯 theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同一坐标系中,电影动画制作,fmat=moviein(20); %创建动画矩阵，保存20祯 for j=1:20; %循环创建动画数据 surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z) %画出每一 步的曲面 axis(theAxes) %使用相同的坐标系 fmat(:,j)=getframe;%拷贝祯到矩阵fmat中 end movie(fmat,10) %演示动画10次,应用、思考和练习(枪支的设计),枪支发火后，气体压强随子弹在膛内的运动而变化。枪管长度x的单位为m。 压强p是距离x的函数，通过实测得到了的一批数据， 子弹射出枪管时的出口速度是设计者关心的问题，如果一只枪管长0.6096m，其膛孔面积4.5610-5m2，子弹重量0.956N，试决定这种型号枪支的出口速度； 更一般的，确定出口速度和枪管长度的关系曲线，绘制这一曲线，并作出适当的标记。这样的问题和你在高等数学中处理的积分有什么区别吗？,应用、思考和练习(天然气井的开采量),东方天然气公司钻了一口新的气井，他们希望研究一下将这口井于供气管路联接的经济性 计算此井的压强随时间的变化曲线，由此得到流量Q与时间t的关系，以此估计此井的总开采量。,
