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1、第一节 中值定理,一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理,一、罗尔定理,费马引理 设函数 f(x)在点 的某邻域 内有定义， 并且在 处可导，如果对任意的 ，有(或 ), 那么 .,证明：不妨设 时，,根据函数f(x)在 x0可导的条件及极限的保号性，便得到,所以 .证毕.,罗尔定理 如果函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)开区间(a,b)内可导;(3)区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点 使得函数f(x)在该点的导数等于零，即,证明：,(1)M=m，则f(x)=M，所以 ,几何意义 如果连续光滑曲线y=f(x)在点A、B处的
2、纵坐标相等，那么在弧 上至少有一点C ，曲线在C点的切线平行于x轴.,二、拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导； 那么在(a,b)内至少有一点 ，使等式成立. 即,几何意义 在弧 上至少有一点C ，曲线在C点的切线平行于弦AB.,证明思路:,我们从定理的几何意义着手，将定理的结论改写 为 ，此等式的左端为弦AB的斜 率，而右端为曲线在C处的切线的斜率，由此可知C点 处的切线平行于弦AB，故拉格朗日定理的图形可以看 作罗尔定理去掉f(a)=f(b)条件的图形.,现构造一个函数 (即辅助函数)，使 符合 ，对 应用罗尔
3、定理，将 转化 到f(x)证明定理，这是我们的证明思路.令有向线段NM的值为 .可见，当x=a及x=b时，M、N重合,有,令AB的方程为y=L(x)，则有,此式便为所构造的辅助函数.,设辅助函数,证明：,罗尔定理是拉格朗日定理当f(a)=f(b)时的特殊情形.,此定理也称为有限增量定理，有时也称为微分中值定理，它准确地表达了函数一个区间上的增量与函数在区间内某点的导数之间的关系.,或,证明：区间(a,b)上任取两点x1、x2(x1x2),有,定理 如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为零，那么f(x)在区间I 是一个常数.,证明：,三、柯西中值定理,柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导; (3)对任一 那么在(a,b)内至少有一点 ，使等式成立.,当F(x)=x 时，柯西中值定理变为拉格朗日中值定理.,动画131图3-3,证明思路:和拉格朗日定理的证明思路一样，仍然以表示有 向线段NM的值的函数作为辅助函数 ，只不过在 此y=f(x)由参数方程,，其中x为参数,则曲线上点(X,Y)处的切线的斜率为,符合罗尔定理条件:,证:,而点M纵坐标为Y=f(x),点N的纵坐标为,更多学习资源 尽在美智社区,
