《（毕业设计论文）矩阵的等价关系及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（毕业设计论文）矩阵的等价关系及其应用（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文矩阵的等价关系及其应用矩阵的等价关系及其应用 Equivalence Relations between Matrix And Its Applications姓 名： 学 号： 学 院： 数学与信息科学学院专 业： 数学与应用数学指导老师： 完成时间: 矩阵的等价关系及其应用【摘要摘要】等价关系是指满足自反性、对称性和传递性这三种性质的关系。矩阵的等价关系有三种：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同。由矩阵间的三种等价关系及每种关系各自存在的条件，我们可以得出矩阵的这三种等价关系间的联系。利用矩阵的等价关系及它们之间的联系，可以解决矩阵的许多问题。本文
2、从矩阵的概念入手，论述了矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同这三种等价关系的概念及其性质，以及它们之间的联系和区别。在此基础上，还给出了对矩阵的这三种等价关系的一些应用，其中主要是矩阵对角化的应用。【关键词关键词】矩阵的等价，矩阵的相似，矩阵的合同，对角化IEquivalence Relations between Matrix And its ApplicationsJuan Huang 【Abstract】Equivalence relation is the relationship that satisfy the condition of reflexivity, symmetry a
3、nd transitive. There are three kinds of equivalence relations between matrix: Equivalent, similarity, congruence of matrix. Through analyzing three equivalence relations between matrix and conditions satisfied by each existed relation, we can find the connection between these relations. Use the equi
4、valence relations between matrix and the connection between them, we can solve many problems about matrix. This article starts from the definition of matrix, and then we illustrate the idea and nature of the three equivalents of matrix, and the connection and difference between them. Base on this, t
5、his paper puts some applications of the three equivalent relations of matrix, and the main key is the application of matrix diagonalization.【Key words】Equivalent of matrix，Similarity of matrix，Congruence of matrix, Diagonalization II目录1 引言.12 矩阵的基本概念.12.1 矩阵的定义 12.2 矩阵的秩 12.3 矩阵的乘积 23 矩阵的等价关系.23.1 矩
6、阵的等价 23.2 矩阵的相似 33.3 矩阵的合同 54 矩阵等价、相似、合同的联系.65 矩阵等价关系的一些应用.75.1 求矩阵的秩 75.2 求矩阵的逆 85.3 对角化矩阵 85.3.1 相似对角化 .85.3.2 合同对角化105.3.3 求二次型的标准形125.3.4 正规矩阵对角化与任意方阵三角化145.3.4.1 任意方阵化为三角阵问题 145.3.4.2 正规方阵化为对角矩阵问题 155.4 求矩阵的 Jordan 标准形.15参考文献.1701 引言矩阵是现代数学中一个极其重要，应用非常广泛的概念。它的理论很久以来已经是数学各分支学科的基本工具，除了在基础线性代数教程中会
7、涉及到有关矩阵的内容外，任何涉有数学的领域，包括微分方程，概率统计，最优化，理论经济学及应用经济学，工程学，运筹学等等，都需要矩阵的知识。特别是随着计算机的广泛应用，矩阵理论显得更为重要。通过等价关系，将矩阵的集合划分成互不相关的等价类，使我们能分块来解决矩阵中的各种问题。2 矩阵的基本概念 2.1 矩阵的定义由个数 ( i = 1, 2, ，m ; j = 1, 2, ，n ) 排列成一个行、mnijam列的矩形数表n111122122212.nnmnmmaaa aaaaaa 称为行列矩阵，简称为矩阵（或阵） 。矩阵一般用大写字母mnm nm n等表示。另外，矩阵也记为或.这个数称为矩阵AB
8、C、A ijm nam nAm n的元素。其中( )表示矩阵的第 行第列元素。矩Aija1,2,;1,2,im jnij阵的元素通常用小写字母表示或直接用数字表示.矩阵的每一行称为这个矩阵的一个行向量，同样它的每一列称为它的一个列向量.2.2 矩阵的秩在矩阵中任取行列（kminm,n） ，由位于行列交叉处的()ijm nAakk个元素按原来的相应位置构成的一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子2kkAk式。若矩阵中存在一个阶子式不为零，而所有的阶子式都为零，则称矩Ar1r 阵的秩为，记为.Ar r Ar矩阵的秩具有以下性质：性质 1.（1）若是一个非零矩阵，则.A 1r A （2）若是一个 mn 矩
9、阵 ,则.A 0min,r Am n性质 2.对任何矩阵,有.A Tr Ar A性质 3.当时，有.0k r kAr A1性质 4.若矩阵是有 个非零行的阶梯形矩阵，则.Ar r Ar 2.3 矩阵的乘积设是一个矩阵，是一个矩阵，则当 iks nAasn kjn mBbn m是一个矩阵，且 ijs mCcsm1 12 2ijin njijijca ba ba b时，称为和的乘积，记为。CABCAB矩阵乘法满足以下运算规律：（1）结合律 设，则 ijs nAa jkn mBb klm rCcAB CA BCABC（2）分配律 A BCABACBC ABACA（3） k ABkA BkAB其中为常
10、数。k（4）已知矩阵的转置矩阵是一个矩阵，则.snAnsTATTTABB A（5）设为阶可逆方阵，则也是阶可逆方阵，且.,A BnABn111ABB A（6）设分别是数域上矩阵，则.,A BP,n m ms min,r ABr Ar B3 矩阵的等价关系定义 3.1 若集合上的一种关系具备自反性，对称性和传递性这三种性质，就称这种关系为该集合上的等价关系.矩阵的等价，矩阵的合同，矩阵的相似都是矩阵的等价关系.下面将对这三种关系进行讨论3.1 矩阵的等价定义 3.1.1 初等变换对矩阵进行以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：2互换矩阵的两行（列）对应元素的位置;用一个非零的数乘矩阵的某一行（
11、列）的所有元素;k把矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列）的对应元素上.k矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义 3.1.2 设均为数域 P 上的 m n 矩阵，若矩阵 A 经过有限次初等变换,A B化为矩阵 B，则称矩阵与等价，记为.ABAB等价是矩阵间的一种关系，它具有自反性，对称性和传递性.即 自反性： ; AA对称性： 若，则;ABBA传递性： 若，则.,AB BCAC其中均为矩阵。ABC、m n任意一个矩阵，若的秩为 ，则都与一个如下的矩阵m nAArA等价，它称为的等价标准形。任何一个矩阵的等价标准形是惟一的。0 00rE A性质：若为同阶可逆矩阵，则与等价，
12、即存在可逆矩阵，使,A BAB,P Q。事实上，任意两个同阶的可逆矩阵都可经过一系列初等行（列）变PAQB换化为同阶的单位矩阵，即有1122PAQEP BQ从而 ，11 2112P PAQQB记为 PAQB（其中都是三种初等矩阵的乘积，仍可逆）11 21121212,;,PP P QQQP P Q Q3.2 矩阵的相似定义3.2.1 设为数域上的两个阶矩阵，如果存在数域上的阶可逆,A BPnPn矩阵，使得，就称相似于，记作.X1BXAXABAB例：因为3=1223110121 01061331108 223110121 200010002 所以01061331108 200010002 相似关
13、系是矩阵的一个等价关系，即相似关系满足自反性，对称性与传递性. 自反性：，因为 .AA1AE AE 对称性：如果，那么.ABBA因为如果，那么有可逆矩阵使，令，就有 ABX1BXAX1YX， 所以.11AXBXY BYBA传递性：如果，那么.,AB BCAC因为如果，那么就有可逆方阵使得，,AB BC,X Y11,BXAX CY BY令， 就有，从而.ZXY111CYXAXYZAZAC相似矩阵具有如下性质：性质 1：相似矩阵有相同的行列式。这是因为: 若，则有可逆矩阵 X，使得 .AB1BXAX于是 11BXAXXA X1XA XA性质 2：相似矩阵有相同的秩，但其逆不成立，即：秩相同的矩阵不
14、一定相似。如， 1001,0110EA与的秩都为 2，但与并不相似。假设与相似，则存在可逆矩EAEAEA阵,使,但，矛盾。故与不相似。X1AXEX1XEXEAEA性质 3：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。这是因为：若相似，那么存在可逆矩阵 P，使=B。故,A B1P AP=EB1EP AP11PEPP AP=1PEA P1PEAP=1PPEAEA4但其逆命题不成立，如，0100A0000B那么=，但不相似，否则存在可逆矩阵，使EA2EB,A BP10P APB从而，与矛盾。所以其逆命题不成立。100AP P0100A性质 4：当均为实对称矩阵时，性质 3 的逆命题成立。,A B证明：由均为实对称矩阵知，均相似于对角矩阵，,A B,A B若的特征多项式相等，记多项式的根为。,A B12,n 则有相似于，也相似于，A12n B12n 即存在可逆矩阵，使=。,P Q1P AP12n 1BQQ于是 。111PQA PQB由为可逆矩阵知，与相似。1PQAB性质 5：若，则，（m 为任意正整数） 。ABTATBnAnB性质 6：若可逆矩阵，则。AB1A1B3.3 矩阵的合同定义 3.3.1 设和是数域上的两个级矩阵，如果有数域上的级可ABPnPn逆矩阵，使得，那么就称与是合同
