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1、本 科 毕 业 论 文论文题目： 反对称矩阵的性质及应用 学生姓名： 200800820244 学号： * 专业： 信息与计算科学 指导教师： 肖新玲 学 院： 数学科学学院 2012 年 5 月 20 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目反对称矩阵的性质及应用选题时间2011.11完成时间2012.5论文（设计）字数6530关 键 词 反对称矩阵；性质；秩；特征值论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：反对称矩阵是矩阵论中经常用到的特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要的地位。学习反对称矩阵有助于更全面地掌握矩阵的相关知识，有助于对高等代数、线性代数和其它后继课程的学习研究。论文（
2、设计）的主要内容及创新点：本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性质，特征值及特征向量的性质以及反对称矩阵在求矩阵特征值及秩，线性变换和欧式空间问题中的应用等。本文中例子的分析及归纳出的注意事项和小结即是本文的创新点附：论文（设计）本人签名： 年 月 日目 录中文摘要：1英文摘要11.引言22反对称矩阵的基本性质.22.1 反对称矩阵的定义.22.2 反对称矩阵的基本性质及证明32.3 基本性质的应用举例.63.反对称矩阵秩的性质83.1 反对称矩阵的秩的性质及证明83.2 秩的性质的应用举例.94.反对称矩阵特征值的性质.104.1
3、 反对称矩阵特征值的性质及证明.104.2 特征值性质的应用举例105.反对称矩阵在欧式空间线性变换上的应用举例.116.总结.11参考文献.121 反反对对称矩称矩阵阵的性的性质质及及应应用用摘要：摘要：矩阵是高等数学中一个极其重要的概念并且有广泛的应用，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.这就使矩阵成为线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，反对称矩阵有很多特殊性质，是研究线性空间和线性变换问题的有利工具。本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性
4、质，特征值的性质以及反对称矩阵在求矩阵特征值及秩，线性变换和欧式空间问题中的应用等.关键词：关键词：反对称矩阵；性质；秩；特征值Abstract: Matrix is a very important concepts in higher mathematics and its application is extensive, such as some important properties of linear equations is reflected in the nature of its coefficient matrix and augmented matrix, and t
5、he process of solution of equations is to the process of transform these matrices,which makes the matrix become a main object of study of linear algebra. as a special type of matrix, antisymmetric matrix has a lot of the special nature which makes it become a powerful tool in study problem of the li
6、near space and linear transformation. The article mainly elaborates the definitions of antisymmetric matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of antisymmetric matrices, the properties of antisymmetric matrix rank, the properties of characteristic value,a
7、nd the applications of antisymmetric matrix in the solution of matrix eigenvalue and rank of matrix, linear transformations and Euclidean space problems etc.Keywords: Antisymmetric matrix; Nature; Rank; Characteristic value2 1.引言引言 反对称矩阵是矩阵论中经常用到的特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要的地位。学习反对称矩阵有助于更全面地掌握矩阵的相关知识，有助于对高
8、等代数、线性代数和其它后继课程的学习研究，也为读者系统地学习矩阵论提供参考。反对称矩阵在高等代数和线性代数中占有很重要的地位，因此，很多学者都对反对称矩阵做了比较深入的研究。如张海山在反对称矩阵的若干性质一文中，详细地介绍了反对称矩阵的基本性质、秩的性质和特征值与特征向量的性质；谢良金在反对称矩阵行列式的性质一文中对反对称矩阵的行列式性质提出了自己的独到见解；贾周与上官灵喜合写的关于反对称矩阵 ，讨论了反对称矩阵的行列式、特征值、合同标准型一级秩等方面的性质和一些重要结果；何承源关注对反对称矩阵，发表了反对称矩阵的性质和证明 。虽然前人对这方面的内容都做了些研究，时至今日，进一步开展这方面的研
9、究将大有可为。2反对称矩阵的基本性质反对称矩阵的基本性质在我们的学习中发现，对称矩阵中的特殊类型反对称矩阵经常出现，以下首先介绍其基本概念。2.1 反对称矩阵的定义反对称矩阵的定义定义定义设 A,若 AT=-A,则称 A 为反对称矩阵（也称斜对称矩阵） 。当 A11nnC为实对称矩阵时，反对称矩阵就称为实反对称矩阵。显然，反对称矩阵 A=（）的元素有如下特征:ijannC;, 2 , 1,;, 0,jianjijiajiij命题命题 1.1 设 n 阶矩阵 A=（） ，如果，则 A 是一个反对称矩阵。 ijajiijaa下面就反对称矩阵的一些基本性质展开讨论下面就反对称矩阵的一些基本性质展开讨
10、论：2.2 反对称矩阵的基本性质及证明反对称矩阵的基本性质及证明性质性质 1： 任一 nn 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。证明： 设 A 为 nn 矩阵，A=（A+AT）+ (A-AT),由于（A+AT）21 213 T=（AT+(AT)T）=AT+A,则 A+AT是对称矩阵，即（A+AT）是对称矩阵，（A-21 21AT）T=（AT-A）=- (A-AT),则（A-AT）是反对称矩阵。21 21 21性质性质 2： 若 A 是反对称矩阵，则其主对角线上元素全为零。证明： 由定义 1 可知成立。性质性质 3： 设 A,B 为 n 阶反对称矩阵，k 为常数， 为正整数，则：l（1），
11、kA，AB-BA 为反对称矩阵。BA （2） AB 为对称矩阵的充要条件为 AB=BA。（3） 当 为奇数时，为反对称矩阵；当 为偶数时，为对称矩llAllA阵。证明： 利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可。性质性质 4： 设 A 是任一 n 阶矩阵，则 A-AT必为反对称矩阵。证明： 因为（A-AT）T=AT-A=- (A-AT)，所以 A-AT为反对称矩阵。性质性质 5： 设 A 是奇数阶的反对称矩阵，则|A|=0.证明: 因为|A|=|AT|=|-A|=-|A|， 所以|A|=0.性质性质 6: 设 A 是 n 阶反对称矩阵，B 是 n 阶对称矩阵，则 AB+BA 是 n 阶反对称
12、矩阵。证明： 由定义直接验证即可。性质性质 7： 设 A 是 n 阶实矩阵，则 A 是反对称矩阵的充要条件是对任意 n 维列向量 X，均有 XTAX=0.证明： 充分性:令，取 X=+，其中表示第 i 个分量是 1，其余 nnijaAiejeie分量为 0 的 n 元列向量。则 XTAX=(+)A (+)=A+ A + A+T ieT jeiejeT ieieT iejeT jeieA = A + A = + =0.所以， =- T jejeT iejeT jeieijajiaijajia，i，j=1，2，,n.从而 A 为反对称矩阵。必要性:因为 A 是反对称矩阵，所以 XTAX=XT（-A
13、）X=-（XTAX）T=-XTAX，从而 XTAX=0。性质性质 8： 设 A 为 n 阶反对称矩阵，A*为其伴随矩阵，则 n 为偶数时，A*为反对称矩阵；n 为奇数时，A*为对称矩阵。证明： 由伴随矩阵定义可知（A*）T=(AT)*,且对任意数 k，有（kA）*=kn-4 1A*。又 A 为反对称矩阵，所以（A*）T=(AT)*=(-A)*=(-1)n-1A*,从而，当 n 为奇数时， （A*）T=A*，即 A 为对称矩阵。从而，当 A 为偶数时， （A*）T=-A*，即 A 为反对称矩阵。性质性质 9： 若 A 为反对称矩阵，则 A 与如下形式的矩阵合同：(*)0001-1001-10证明
14、: 因为 A 是一个反对称矩阵，可设 00021212112nnnnaaaaaaA现在对 n 用数学归纳法来证明。（1） 当 n=1 时，结论显然成立。当 n=2 时,若，结论显然也成立。012a若取，则，所以 A 与012a 1 12001 aP 0110APPT合同。 01-10（2） 假定对于阶数小于 n 时的反对称矩阵，结论成立。现在证明对 n（n3）的反对称矩阵 A 结论也成立。10 若 A 的第一行全为零，即（0，, ）=（0,0，,0）时，则12ana1，此处 B 是 n-1 阶反对称矩阵。 BA000由归纳假定可知，存在一 n-1 阶可逆矩阵 Q 使： 5 0001100110BQQT令，则 QS001 BQQASSTT 000再令，此处是 n-1 阶单位矩阵，则 0101nIT1 -nI 000BQQASTSTT TT取，则STP 000BQQAPPT T具有（*）的形式。20 若矩阵 A 的第一行不全为零，不妨设.这时我们可对 A 施行如下的初012
