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1、双曲线的标准方程,2,a2b2,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面
2、积,题型二 双曲线定义的应用,【例2】,思路探索 (1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，则点M到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积,(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为6 或22. (2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， |PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2| 36232100. 在F1PF2中，由余弦定理得,规律方法 (1)求双曲线上一
3、点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca) (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|
4、PF2|64，,【变式2】,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,C,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,研一研题型解法、解题更高效,题型三 与双曲线有关的轨迹问题,【例4】,【题后反思】 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支,如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程 解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1 (5，0)，半径r11；,【变式3】,圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5，0)，半径r24. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|310|F1F2|.,只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况,误区警示 忽略双曲线焦点位置致误,【示例】,答案 m|33,
