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1、行列式的计算行列式的计算 摘 要：行列式是高等代数研究中的一个重要工具。本文从行列式的计算出发，通过例题，介绍行列式计算中的一些方法，同时初步给出了一些特殊行列式的计算方法，得出了一些关于行列式计算的技巧。关键词：行列式；三角化法；因式定理法；递推法；数学归纳法1 引 言行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。同时代的日本数学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了行列式的概念与算法。1750 年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作线性代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、
2、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则。稍后，数学家贝祖 (1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。行列式是多门数学分支学科一个工具，在我们学习高等代数时，书中只介绍了几种较简单的行列式计算方法，但是在遇到比较复杂或技巧性比较强的行列式时，只局限于书上的几种方法，那解题就有点麻烦。这里我讨论了行列式计算的若干方法，针对不同的行列式来选择相对简单的计算方法，来提高解题的效率。2 基本概念的简单介绍2.1 n 级行列式定义 1 级行列式1n（1）nnnnnnaaaaaaaaa21222211121
3、1等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和。其中n nnjjjaaa 2121 是的一个排列，的每一项都按下列规则带有符号：njjj211,2,n nnjjjaaa 2121 当是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，njjj21nnjjjaaa 2121njjj21 带有负号。 nnjjjaaa 21212.2 矩阵在叙述行列式的重要公式和结论以及后面计算行列式过程中可能要用到矩阵及其有关概念，所以在这里简单介绍一下矩阵及其部分概念。定义 2 由个数排成的 行（横的）列（纵的）的表1snsn（2）111212122212nnsssnaaaaaaaaa 称为一个矩阵。sn特别地，当时，（1）
4、称为（2）的行列式，如果把（2）记作，则snA（1）表示为。A定义 3 在行列式1nnnnnnaaaaaaaaa212222111211中划去元素所在的第 行和第列后，剩下的个元素按照原来的排法ijaij2) 1( n构成一个级行列式1n（3）nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111称为元素的余子式，记作，而称为的代数余子式，记作：ijaijMijjiM ) 1(ija（4）ijji ijMA) 1(定义 4 我们把1（5）112111222212ssnnsn
5、s naaaaaaaaa 称为矩阵（2）转置，记作或，显然，矩阵的转置是矩阵。ATAsnn s定义 5 在一个级行列式中任意选定行列位于这些行和列的1nDkk)(nk 交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式,称为行列式的一2kkMD个级子式。k3 行列式的性质按照行列式的值可分为以下几类：性质 1 行列式值为 01) 如果行列式有两行相同，则行列式值为 0;2) 如果行列式有两行成比例，则行列式值为 0;3) 行列式中有一行为 0，则行列式的值为 0。性质 2 行列式值不变1) 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变, 即（6）nnnnknkkkninkikinnnnnknkkiniina
6、aaaaacaacaacaaaaaaaaaaaaaaaaa212122111121121212111211 其中。Rc2) 行列互换，行列式值不变, 即= （7）nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa2122212121113) 如果行列式的某一行是两组数的和，那么它就等于两个行列式的和, 这两个行列式除这一行外其余与原来行列式对应相同,即 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211（8）性质 3 行列式的值改变一行的公因子可以提出去，
7、或者说用一数乘以行列式的一行就等于用该数乘以此行列式（9）nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211性质 4 行列式反号对换行列式两行的位置，行列式反号（10）nnnniniiknkknnnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21212111211212121112114 行列式的计算4.1 一些重要的公式和结论(1) 行列式按行（或列）展开设为级方阵，为的代数余子式，则)(ijaA nijAija（11） jijiAAaAaAajninjiji, 0,2211（12） jijiAAaA
8、aAanjnijiji, 0,2211(2) 设为级方阵，则An（13）AAT(3) 设为级方阵，则An（14）AkkAn(4) 设为级方阵，则BA,n,但 （15）BAAB BABA, （但一般地） （16）BAABBAABBAAB (5) (拉普拉斯定理)设在级行列式中任意取定了个行，由nD) 11 (nkk这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式kk。D(6) 设为级方阵，为级方阵，则：AmBn,00mm mn nnAAABBB但是：（17）0( 1)0nmn mn mBABA (7) 范德蒙德行列式（18）12 222 12 1111 12111()nnnji
9、ij nnnn nxxxDxxxxxxxx (8) 一些特殊行列式的值（19）111222nnn对角行列式 上三角行列式 下三角行列式 （20）111222nnn次对角行列式 次上三角行列式 次下三角行列式 说明：（19）（20）中的行列式中*号处的元素不全为零。 4.2 低级行列式的计算 4.2.1 利用行列式定义，性质例 1 计算行列式 yxyxxyxyyxyxD3解：可以直接按照定义把行列式写开，得。)(2)(23322 3yxyxyxyxD4.2.2 利用三角化法例 2 计算行列式3112321014D解：利用三角化法：。 4105502114101232113D112( 5) 011
10、014 112( 5) 01125005 4.3 n 级行列式的计算4.3.1 利用定义4.3.2 逐行（列）相减（加）法4.3.3 利用因式定理法4.3.4 递推降级法4.3.5 拆分法4.3.6 数学归纳法4.3.7 利用公式和定理参考文献参考文献1 王萼芳，石生明高等代数M北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编, 1988032 张禾瑞，郝炳新高等代数M北京高等教育出版社, 1983043 李志慧，李永明高等代数分析与选讲M陕西师范大学数学与信息科学学院, 2005094 耿锁华行列式性质的应用M南京审计学院出版社, 2006015 高丽，郭海清两类特殊行历史的计算M西南民族大学出版社, 2007066 刘崇华一类行列式的计算公式M南宁大学出版社, 200604.7 杨立英，李成群级行列式的计算方法与技巧M广西师范学院出版社, n200601.8 孙清华，孙昊，李金兰高等代数内容、方法与技巧M华中科技大学出版社, 200608.9 毛纲源线性代数解题方法技巧归纳(第二版)M华中理工大学出版社, 200706.
