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1、1,第6次课:随机变量及其分布,随机变量的概念 随机变量的分布函数的概率意义与数学性质离散型随机变量的概率函数或分布律连续型随机变量的密度函数分布函数与密度函数的关系 习题二（2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19),2,试验的所有可能结果构成的集合被称作样本空间, 而每一个可能的试验结果构成样本点. 样本点的集合A称作事件, 只包含一个样本点的集合被称作基本事件.从样本空间到实数集合的一个映射称之为随机变量, 即每给定一个试验结果或者样本点, 存在着唯一的一个实数()与之对应. 这样就建立了一个自变量为，函数值则为实数的一个特殊的“函数“.,3,一些随机变量的例子
2、,(1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用x表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值. (2) 某段时间内候车室的旅客数目记为x, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自然数, M为候车室的最大容量. (3) 单位面积上某农作物的产量x是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即x0,T, T是一个常数.,4,按取值情况将随机变量分为两类: (1) 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值. (2) 非离散型随机变量可能取任何实数. 而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量.,5,定义 2.1
3、如果随机变量x只取有限个或可列个可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值, 则称x为离散性随机变量. 为直观起见, 将x可能取的值及相应概率列成概率分布表如下,此外, x的概率分布情况也可以用一系列等式表示: P(x=xk)=pk (k=1,2,) 这被称作随机变量x的概率函数(或概率分布),6,其中x=x1, x=x2, , x=xk, 构成一完备事件组. 因此概率函数具有如下性质:,一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表. 上面两个性质中的性质(2)经常在解题中构成解方程的一个条件.,7,例1 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取一个进行检验, 用随机变量x来描述废
4、品出现的情况. 好写出x的分布. 解 用x表示废品的个数, 则它只能取0或1两个值. “x=0“表示“产品为合格“, “x=1“表示“产品为废品“, 则概率分布表如下,即Px=0=0.95, Px=1=0.05, 或可写为 Px=k=0.05k0.951-k (k=0,1),8,两点分布: 只有两个可能取值的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为 P(x=xk)=pk (k=1,2) 概率分布表为:,概率分布图为,x,p1,p2,x1,x2,9,0-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布. 其概率函数为 P(x =k)=pk(1-p)1-k (k=0,1)
5、 概率分布表为:,概率分布图为,x,1-p,p,0,1,1,10,例2 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量x 描述检验结果并画出其概率函数图.,解 令“x=k“与产品为“k等品“(k=1,2,3)相对应, “x=0“与产品为“废品“相对应. x是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意, P(x=0)=0.1 P(x=1)=0.6 P(x=2)=0.1 P(x=3)=0.2 则可列出概率分布表并画出概率分布图.,11,x 的概率分布表为,概率分布图为,x,0,1,2,3,
6、0.1,1,p,12,例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况 解 ：令x表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和概率分布图如下,13,离散型均匀分布 如果随机变量x有概率函数:,则称x服从离散型均匀分布.,14,例4 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买次数x的分布.,解 “x =1“表示第一次购买的奖券中奖, 依题意P(x =1)=p, “x =2“表示购买两次奖券, 但第一次未中奖, 其概率为1-p, 而第二次中奖, 其概率为p. 由
7、于各期奖券中奖与否相互独立, 所以P(x =2)=(1-p)p; “x =i“表示购买i次, 前i-1次都未中奖, 而第i次中奖, P(x =i)=(1-p)i-1p.,15,由此得到x的概率函数为 P(x =i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,),称此分布为几何分布,16,例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺口, 5个卡口, 灯口向下放着, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取一个, 如果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数x的分布.,17,解 “x=0“表示第一个就取到了螺口灯泡, “x=1“ 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡,
8、 因此P(x=0)=10/15=2/3, P(x=1)=(5/15)(10/14)=5/21 P(x=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273 P(x=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273 P(x=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003 P(x=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003 概率分布表为,18,随机变量的分布函数,定义 2.2 若x是一个随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实数x, 令F(x)=P(x x) 称F(x)是随机
9、变量x的分布函数(因此, 要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的, 理论上要算无穷多个事件的概率才行),19,例6 求本节例1中的分布函数 解 在例1中x的分布函数如下表所示:,其分布函数为,20,对于一般的0-1分布: 其分布函数为,x,1-p,0,1,1,F(x),21,例7 求例3中的分布函数F(x) 解：,22,x的概率函数及F(x)的图形为,P,0,1,2,3,4,5,6,x,1,F(x),23,分布函数与概率函数满足关系:,这是因为在一般的公式中, 要考虑x1,x2,并非按从小到大的次序排列的可能性. 例如, 假设x1=0, x2=-1, x3=1 P(x1)=0.2=p1,
10、 P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,24,这时便有,25,F(x)的图形为,x2,x1,x3,F(x),26,F(x), 即事件“x“的概率是x的一个实函数,对任意实数x1x2, 有 因x2x1 x1x2=x2-x1 P(x1x2)=P(x2)-P(x1) 即 P(x1x2)=F(x2)-F(x1) 因此, 若已知的分布函数F(x), 就能知道在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况,27,分布函数F(x)具有如下几个性质:,28,连续型随机变量的分布,一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于
11、它不够直观，往往不常用。 比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。 对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式“概率密度函数”,29,例8 在区间4,10上任意抛掷一个质点, 用x表示这个质点和原点的距离, 则x是一随机变量, 如果这个质点落在4,10上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比, 求x的分布函数.,4,10,x,30,解: x可以取4, 10上的一切实数, 即410是一个必然事件, P410=1, 若c,d4,10, 有Pcd=(d-c), 为比例常数, 特别地, 取c=4, d=10, P410=(10-4)=6=1, 因此=1/6.,31,F(x
12、)的图形如下所示,0,F(x),4,10,x,32,定义: 对于连续型随机变量x, 如果存在一定义在(-, +)上的非负函数(x), 对于任意实数x都有(x)0, 且满足, x落在任意区间内的概率为j(x)在此区间的积分, 即,则称j(x)为x的概率密度函数,.,33,用概率密度函数计算x落在任何区间内的概率如下图所示意.,a,b,x,0,j(x),P(axb),34,因此, 概率密度函数的两个性质一个是(x)0, 另一个则是,x,0,j(x),35,概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为,x,0,j(x),x,36,进一步剖析可得,x,0,j(x),x,x+x,这表明j(x)不是x取值
13、x的概率, 而是它在x点概率分布的密集程度.,37,在例1中x的概率密度函数j(x)为,38,例9 若x有概率密度,则称x服从区间a,b上的均匀分布, 试求F(x). 解 因为,39,j(x)的图形为,求分布函数F(x)则是根据公式,0,a,b,x,(x),40,当xa时,0,a,b,x,(x),x,41,当axb时,0,a,b,x,(x),x,43,综上所述, 最后得分布函数为,44,F(x)与j(x)的图形对照如下:,0,a,b,x,(x),0,a,b,x,F(x),1,45,例10 已知连续型随机变量x有概率密度,求系数k及分布函数F(x), 并计算P(1.5x2.5) 解 因,46,则
14、j(x)及其图形如下,47,x,当x0时,48,x,当0x2时,x,50,综合前面最后得,1,2,0,x,F(x),51,将概率密度函数j(x)与分布函数F(x)对照,52,现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率P1.5x2.5 根据分布函数计算: P1.5x2.5= P1.5x2.5-P(x=2.5) =F(2.5)-F(1.5)-0 =1-(1.52/4)+1.5=1-0.9375=0.0625 根据概率密度函数进行计算则是,53,用两种方法计算P1.5x2.5的示意图,1.5,1.5,0.0625,2.5,2.5,0.0625,54,实际上,连续型随机变量x的存在给数学家们带来了很大的
15、麻烦,因为, 当任意两个实数a,b不相同时, 即当ab,事件x=a和事件x=b是互斥的, 而连续型随机变量x取任何单个的实数的概率为0可是x落在某一区间内的事件实际上是由所有的等于此区间内的每一个实数的事件的并, 这样就出现了无限多个概率为0的事件的并的事件的概率却不为0, 即加法法则不成立. 因此数学家们就只好宣布可列可加性, 而不可列可加性则不成立.,55,第7次课:随机变量及其分布,二元随机变量的概念 联合分布与边际分布 随机变量的独立性习题二（21，23，25，27，28，29）,56,定义 2.5 : 如果每次试验的结果对应着一组确的实数(x1,x2,xn), 它们是随试验结果不同而变化的n个随机变量, 并且对任何一组实数x1,x2,xn, 事件“x1x1,x2x2,xnxn“ 有确定的概率, 则称n个随机变量的整体(x1,x2,xn)为一个n元随机变量(或n元随机向量) 定义 2.6 称n元函数F(x1,x2,xn)=P(x1x1,x2x2,xnxn)(x1,x2,xn)Rn 为n元随机变量的分布函数.,
