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1、数学实验之,人口问题与存贷款问题,1.人口模型推导与分析,据人口学家们预测,到2033年,世界人口将突破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长.人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口的增长.,分析 设任意时刻的人口总数为N(t)，影响一个地区总人口数 的最显著的因素应包括哪些？,影响因素,现仅考虑出生和死亡对人口数的影响。,在时间段t内，出生和死亡人口数的变化将依赖于以下因素：,1.时间间隔t的长短；,2.时间间隔开始时的人口基数.,一、建模过程 做最简单的假设：时间间隔t内的出生人数= b N(t)t 时间间隔t内的死亡人数=d N(t)t
2、 这里b和d分别是出生率和死亡率.,得到一个初始模型为,N(t+t)N(t) = (bd)N (t) t （1）,针对时间区间t的两种情况进一步讨论：,1）t是一个确定的单位时间(比如t=1年) 令 Nk= N(k)=N (k t), k=1,2,3, 关于序列NK,k=1,2,3, 的差分方程:Nk+1= (bd+1)Nk k=1,2,3, （2） 据此，根据上一年的人口数可推算出第二年的 人口数以及逐年的人口数,2）在很短的时间区间t内，将人口数(t) 视为一个连续变量.因具有很小的跃变的曲 线可视为平滑曲线，如此处理即简化了模型 又不会引起严重误差.,将(1)改写为,令t0, 有,（3）
3、,模型分析 等式左端（以及右端）可以理解 为“相对增长率”,对相对增长率做不同的假设可以建立不同 的数学模型，并得到不同的解曲线.,1）假设人口净增长率b和净死亡率d均为常数， 净相对增长率r=bd 也是常数. 初始条件N0=N(0)，方程的解为 N（t）= N0ert , t0,称为Malthus人口模型.,模型分析 假若净增长率r0,人口的预测值 将以r为公比按几何级数无限增长.,不太符合实际，原因是假设条件过于简单.,实际上随着人口不断增长，环境资源所能承 受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性 别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能 在极小的时间段内才可以把人口净增长率r近 似地看着常
4、数.,3. 模型改进,（4）,解得,由于rN(t)是未知函数,无法确定N(t).,将“人口净增长率”视为总人口的函数r(N), 方程(3)改为,将净增长率r 看成人口数N的线性函数,设 r(N)=a+ c N,并设r(0)=r,且存在一个数值K 使r(K)=0. 即有,求解得 r(N)=r(1N/K)，,代入式(4)中,有,4. 进一步改进,模型分析,得到Logistic模型：,思考 请绘出Logistic曲线图,分析曲线特征, 据此讨论：,1. Logistic模型具有哪些特点？,2. 比较两个人口模型的优缺点.,2.存贷款问题,以下是中国建设银行推出的“个人助学贷款项目”中重要 一环： 个
5、人助学贷款等额本息月均还款额表 (借贷金额为一万圆),我们下面建立该问题的数学模型，设法弄清楚在银行规定的 利率下，月均还款额的计算方法。,x0：初始贷款额 r：年(或月)贷款利率 R：每年(或月)的还款额 xn+1：第n+1年(或月)的欠款额,数学模型为：xn+1 = xn + rxn R,xn+1 = (1+r)xn R,用迭代法解之，有x1 = kx0 Rx2 = kx1 R = k 2x0 R (k +1)x3 = kx2 R = k 3x0 R (k 2 + k +1) 一般地，xn = k nx0 R (kn-1 + kn-2 +1),（等额本息还款算法，即每 个月等额付相同的数目
6、， 包括贷款利率所产生的利息。）,由于 ，有：,1. 求单位时间的还款额R 令xn = 0，即在第n年(或月)末尾将欠款还清，从式可知每个 单位时间段的还款额,以二年期贷款为例，月利率,两年还款总额 = 442.9424 = 10630.56 (元)， 两年负担的利息总和 = 10630.5610000 = 630.56 (元)。,当初始贷款额x0为一万元时，从算出每月还款额是R = 442.94 (元),r=4.875 4.95 4.95 5.025 5.025./1000; money=10000; month=12 24 36 48 60; pay_month=money.*r.*(1+
7、r).month./(1+r).month-1),在式中，若R已知，解出x0，有,在n年(月)内还清银行利率为r的贷款，每年(月)的还款额为R， 那么，现在应向银行借贷的款额x0可用式求得。,2. 求初始贷款额x0,例：假设某人购房需向银行借贷一笔资金，他计划20年内还清， 他每月的还款额不超过1500元，银行现行的贷款利率为5.58%。 该借款人现在可向银行借贷的最高额度为多少？ 可知，月利率 r = 4.65 = 0.00465 还款次数n = 240 R 1500元 从式算得x0 216630 (元) 即，现在向银行的借款额不超过二十万二千元即可。,问：若按照等额本金还款：在还款期内，等
8、额归还贷款本金， 并同时还清当期未归还的本金所产生的利息。 请问公式应该如何列？,设总借款为M，总还款月数为n，则每个月还本金为M/n，,第i个月的利息（i-1）月的剩余款月利率,（i-1)月的剩余款总借款(i-2)*每个月还的本金,第i个月的还款每个月要还的本金第i个月的支付的利息,3. 平衡解,若有a = f (a)对所有的自然数n都成立，则称a为该系 统的平衡解或不动点，当,称a 是稳定的(吸引不动点)，否则，称a 是不稳定的 (排斥不动点)。,对于系统,地高辛是一种治疗心脏病的药物. 已知该药在血液中的衰减量 是每日减半，又设病人每日服药量是0.1mg，记xn为第n日末 患者血液内的药
9、物残留量，则有下述模型：xn+1 = 0.5xn0.1 依次取以下三个值作为初始值：A：x0 = 0.1B：x0 = 0.2C：x0 = 0.3,x(1)=input(please input the initial value:);for i=2:20x(i)=x(i-1)*0.5+0.1;endplot(x,b*,linewidth,4);hold on;,2. 养老保险金问题 保险公司推销养老保险时，向我们举了一个例子： 李先生，25岁，投保本险种，约定领取养老金年龄为60岁， 选择15年期交费，年交保费636元，保险金额1万元，15年共 交保险费9540元。自60岁开始，每年按投保金额
10、的10%领取养 老金(即1000元)，若其81岁身故，共领取养老金100021 =21000元。,记xn为投保人第n年的投保额与利息之和，r为保险公司年利率， R和Q分别是60岁前每年的交保额和60岁后每年所领取的 养老金，可用差分方程写出这一问题的数学模型：,李先生从25岁起到40岁在15年间共交保险费9540元，60岁获益， 81岁去世，相当于交保险费的时间为35年，获益时间为21年。 这样，R = 9540/35 = 272.57元，Q = 1000元，L = 35，N = 56。,求解得：,在第一个式子中令 n = L ，在第二个式中令 n = N ， 又注意到,得到方程,记1 + r = x，并代入R、Q、N、L的值上述方程就是,用Matlab可获得方程(21)的至少两个实根，经分析后可知方程的 根是x = 1.0277 即实际年利率r = 277%，略高于银行三年期定期储蓄2.70%的 年利率。对其它年龄投保获利的情况可以类似计算。,solve(x56-4.67*x21+3.67),
